6.1 6.1 Muestra aleatoria simple
6.1 Muestra aleatoria simple
Objetivo de la inferencia estadística
En esta sección veremos el punto de partida de la inferencia:
para estudiar la altura media de los estudiantes de una universidad se mide la altura de \(100 \) de ellos, y a partir de esos datos se sacan conclusiones sobre toda la población.
Consideremos una característica bajo estudio en una población descrita por una variable aleatoria \(X \) con modelo de distribución desconocido, bien en parte (por ejemplo, \(X \sim P(\lambda) \), con \(\lambda \) desconocida), o bien totalmente (no sabemos nada sobre su modelo de distribución).
Supongamos que disponemos de un conjunto de observaciones o datos experimentales, que denotaremos por \(x_1, x_2, \ldots, x_n \)
El objetivo fundamental es, a partir de estos datos experimentales, deducir información acerca de la distribución de la variable en la población.
Lo haremos siguiendo tres enfoques diferentes.
Estimación puntual: daremos un valor numérico aproximado del valor del parámetro o parámetros poblacionales desconocidos.
Estimación por intervalos: daremos un intervalo dentro del cual está el verdadero y desconocido valor del parámetro poblacional buscado, con alta probabilidad, fijada de antemano.
Contrastes de hipótesis: haremos hipótesis (conjeturas) acerca del valor o valores de los parámetros de una población, en distintas situaciones, o sobre la forma o expresión de su función de distribución.
Conceptos básicos
Se quiere estudiar el tiempo de espera en una consulta, modelado por \(X \) con distribución desconocida.
Se observan los tiempos de \(50 \) pacientes, \(x_1, x_2, \ldots, x_{50} \), y con esos datos se estimará el tiempo medio de espera de toda la población de pacientes.
Una población es el conjunto de objetos o individuos que se desean estudiar.
Una muestra es una parte de esa población seleccionada para el estudio.
Una variable es una característica de los individuos que puede tomar distintos valores sin una norma fija, y la denotamos por \(X \)
Una observación es cada uno de los valores que toma la variable al medirla sobre los objetos o individuos que nos sirven como fuente de datos para la realización de nuestra investigación: \(x_1, x_2, \ldots, x_n \)
Pueden recibir diferentes nombres: unidades muestrales, casos, unidades experimentales, etcétera.
Un valor es cada uno de los distintos estados en los que se puede encontrar la característica objeto de estudio.
Por razones de viabilidad extraemos una muestra de la población, de forma que del comportamiento estudiado en la muestra pueda generalizarse o inferirse el de la población.
Definición de muestra aleatoria simple
La población son todos los estudiantes de la universidad; la muestra, los \(100 \) elegidos para el estudio; la variable \(X \) es la altura; cada medición, como \(x_1 = 172 \) centímetros, es una observación, y \(172 \) es el valor observado.
Para tratar la investigación con datos hay que considerar primero cómo se obtienen esos datos.
La forma de obtener los datos implica luego a los métodos de análisis e incluso a la validez de nuestro estudio.
Sea \(X \) una variable aleatoria que cuantifica los valores de una característica medida sobre una población.
Supongamos que hacemos \(n \) pruebas independientes del experimento, obteniendo los datos \(x_1, x_2, \ldots, x_n \)
Cada \(x_i \) se puede considerar como una realización de una variable aleatoria \(X_i \) que se distribuye como \(X \)
Así pues, \((x_1, x_2, \ldots, x_n) \) puede ser considerado como una realización de un vector aleatorio \((X_1, X_2, \ldots, X_n) \), cuyas componentes son variables aleatorias independientes y están igualmente distribuidas (i.i.d.) como \(X \)
A \(X_1, X_2, \ldots, X_n \) se le denomina muestra aleatoria simple, abreviado m.a.s., de \(X \)
A \(n \) se le denomina tamaño de muestra.
Es fundamental distinguir la muestra aleatoria simple, que es un vector de variables aleatorias y por tanto aleatorio, de la realización concreta \((x_1, x_2, \ldots, x_n) \), que son números ya observados.
Tamaño muestral y representatividad
Al lanzar un dado \(50 \) veces, los resultados \(X_1, X_2, \ldots, X_{50} \) son independientes entre sí y todos siguen la misma distribución del dado: forman una muestra aleatoria simple de tamaño \(n = 50 \)
Todas las técnicas de inferencia estarán basadas en la previa selección de una muestra.
Las diferencias entre la muestra y la población deben ser mínimas, es decir, la muestra debe ser representativa de la población.
Pero la población es desconocida, de modo que debemos escoger la muestra "a ciegas".
Por ello debemos cuidar dos aspectos.
Primero, el tamaño de la muestra: cuanto mayor sea \(n \), más información contendrá la muestra sobre la población.
Segundo, el procedimiento de elección, que debe garantizar la objetividad y la representatividad.
En resumen, los aspectos a tener en cuenta al aplicar las técnicas de inferencia estadística son la selección de la muestra (métodos de muestreo), la estimación de los parámetros del modelo probabilístico que describe a la población y el contraste de hipótesis sobre el comportamiento de la población.
Se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño \(n = 4 \) y se obtienen las observaciones \(x_1 = 2, \; x_2 = 1, \; x_3 = 3, \; x_4 = 2 \)
Identificar el vector aleatorio y su realización.
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la muestra aleatoria simple como vector de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas según la ley de \(X \). A continuación identificaremos la realización concreta con los datos observados.
Para terminar comentaremos qué información aportan estos datos sobre el parámetro desconocido.
La muestra aleatoria simple como vector de variables aleatorias.
La muestra aleatoria simple de \(X \) es el vector \((X_1, X_2, X_3, X_4) \), donde \(X_1, X_2, X_3, X_4 \) son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas como \(X \), es decir, cada una de ellas sigue una ley \(P(\lambda) \)
La realización con los datos observados.
La realización concreta de este vector aleatorio con los datos del experimento es \((x_1, x_2, x_3, x_4) = (2, 1, 3, 2) \)
Son números ya observados, no aleatorios.
Qué se puede inferir del parámetro desconocido.
Aunque \(\lambda \) es desconocida, los datos aportan información sobre ella: los valores observados están en torno a \(2 \), lo que sugiere que el verdadero valor de \(\lambda \) está próximo a \(2 \)
Dar un valor numérico aproximado de \(\lambda \) a partir de estos datos es exactamente lo que haremos con la estimación puntual.
Sea \(X \sim \text{Be}(p) \) con \(p = 0,3 \) la variable que indica si un artículo es defectuoso.
Se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño \(5 \) y se observan los valores \(1, 0, 1, 1, 0 \)
Calculamos la probabilidad de haber obtenido exactamente esa muestra.
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la muestra aleatoria simple como vector de variables independientes e idénticamente distribuidas.
A continuación usaremos la independencia para factorizar la probabilidad conjunta en el producto de las probabilidades individuales.
Para terminar sustituiremos los valores observados y calcularemos el producto.
La muestra aleatoria simple como vector de variables independientes.
La muestra aleatoria simple es el vector \((X_1, X_2, X_3, X_4, X_5) \), donde las cinco variables son independientes e idénticamente distribuidas como \(X \sim \text{Be}(0,3) \)
Factorización de la probabilidad conjunta por independencia.
Por la independencia de las componentes, la probabilidad del suceso conjunto es el producto de las probabilidades individuales:
Como \(P(X_i = x_i) = p^{x_i}(1-p)^{1-x_i} \), y en la muestra observada hay tres unos y dos ceros, el producto vale \(p^{3}(1-p)^{2} \)
Cálculo numérico.
Sustituyendo \(p = 0,3 \):
La probabilidad de obtener exactamente la muestra observada, con tres defectuosos y dos no defectuosos en ese orden, es \(0,01323 \)
Obsérvese que este cálculo solo es posible gracias a la independencia de las componentes de la muestra aleatoria simple.
Sea \(X \sim N(\mu, \sigma^2) \) con ambos parámetros desconocidos, y sea \(X_1, X_2, X_3, X_4 \) una muestra aleatoria simple de tamaño \(4 \)
Estudiamos la media muestral antes de extraer la muestra y después de observar los valores \(2,1 \), \(1,8 \), \(2,3 \) y \(1,9 \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la media muestral como función de la muestra aleatoria simple.
A continuación deduciremos su distribución antes de observar los datos, usando que es combinación lineal de normales independientes.
Para terminar calcularemos su valor numérico sobre la muestra observada y destacaremos la diferencia entre ambas situaciones.
La media muestral como función de la muestra.
La media muestral es \(\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{4} \)
Al ser una función de la muestra aleatoria simple, que es un vector aleatorio, \(\bar{X} \) es una variable aleatoria antes de extraer la muestra.
Distribución de la media muestral antes de observar los datos.
Como \(X_1, X_2, X_3, X_4 \) son normales independientes, su combinación lineal \(\bar{X} \) también es normal.
Su esperanza es \(E[\bar{X}] = \mu \) y su varianza es \(\text{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{4} \), luego $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{4}\right) $$ antes de observar los datos.
Valor numérico después de observar los datos.
Una vez extraída la muestra y observados los valores \(x_1 = 2,1 \), \(x_2 = 1,8 \), \(x_3 = 2,3 \) y \(x_4 = 1,9 \), la media muestral ya no es aleatoria: es el número
Antes de observar los datos, \(\bar{X} \) es una variable aleatoria con distribución \(N(\mu, \sigma^2/4) \); después de observar la muestra, es el número fijo \(2,025 \)
Esta es exactamente la distinción entre estimador y estimación que estudiaremos en el tema
7.
El número de llamadas por minuto que recibe una centralita sigue una distribución \(X \sim P(2) \)
Se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño \(3 \) y se observan los valores \(1 \), \(3 \) y \(2 \)
Calculamos la probabilidad conjunta de esa muestra.
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la muestra como vector de variables independientes e idénticamente distribuidas según la ley de Poisson.
A continuación factorizaremos la probabilidad conjunta por independencia y escribiremos la función de probabilidad de cada componente.
Para terminar sustituiremos los valores y calcularemos el producto.
La muestra aleatoria simple como vector de variables independientes.
La muestra es el vector \((X_1, X_2, X_3) ,\ \text{con}\ X_1, X_2, X_3 \) independientes e idénticamente distribuidas como \(X \sim P(2) \)
Factorización y función de probabilidad de cada componente.
Por independencia:
La función de probabilidad de la Poisson de parámetro \(2 \) es \(P(X = k) = e^{-2}\frac{2^{k}}{k!} \), luego:
Cálculo del producto.
Agrupando las exponenciales y los factoriales:
Como \(e^{-6} \approx 0,0024788 \):
La probabilidad conjunta de la muestra observada es aproximadamente \(0,01322 \)
Este producto de probabilidades individuales es la función de verosimilitud de la muestra, la pieza central del método de máxima verosimilitud que estudiaremos en el tema 7.