4.1 4.1 Variables de conteo
4.1 Variables de conteo
Se lanza una moneda hasta conseguir \(r = 3 \) caras, con \(p = 0,5 \)
Necesitar exactamente \(5 \) lanzamientos significa que la tercera cara sale en el quinto intento: $$P(X = 5) = \binom{4}{2} 0,5^{5} = \frac{6}{32} = 0,1875 $$
Variables de conteo y ensayos de Bernoulli
En esta sección contaremos éxitos: al lanzar una moneda \(10 \) veces, el número de caras sigue \(X \sim B(10; 0,5) \) y $$P(X = 5) = \binom{10}{5} 0,5^{10} = \frac{252}{1024} \approx 0,2461 $$
Una variable de conteo es una variable aleatoria discreta que cuenta cuántas veces ocurre algo: cuántos individuos sobreviven, cuántas máquinas se averían, cuántas llamadas llegan en una hora.
Toma valores enteros no negativos: \(X \) con valores \(0, 1, 2, \dots \)
La pieza básica de todos los modelos de conteo es el ensayo de Bernoulli: un experimento con solo dos resultados posibles, éxito y fracaso, donde la probabilidad de éxito \(p \) es la misma en cada repetición y los ensayos son independientes entre sí.
Son ensayos de Bernoulli lanzar una moneda (cara o cruz), observar si una máquina está averiada o no, o si un cliente demanda un producto o no.
El modelo binomial
En un control de calidad, cada pieza es un ensayo de Bernoulli: defectuosa con probabilidad \(p = 0,02 \) y correcta con probabilidad \(0,98 \)
El número de piezas defectuosas en un lote es una variable de conteo con valores \(0, 1, 2, \dots \)
Si se repite un ensayo de Bernoulli un número fijo \(n \) de veces, de forma independiente y con la misma probabilidad de éxito \(p \), la variable \(X \) que cuenta el número total de éxitos sigue un modelo binomial de parámetros \(n \) y \(p \), que se denota \(X \sim B(n; p) \)
Su función de probabilidad es \(P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k} \) para \(k = 0, 1, \dots, n \)
La justificación es por conteo: hay \(\binom{n}{k} \) secuencias distintas con exactamente \(k \) éxitos y \(n-k \) fracasos, y cada una de esas secuencias tiene probabilidad \(p^{k}(1-p)^{n-k} \) por la independencia de los ensayos.
La esperanza y la varianza del modelo binomial son \(E(X) = np \) y \(Var(X) = np(1-p) \)
La esperanza se entiende porque \(X \) es la suma de \(n \) ensayos de Bernoulli independientes, cada uno con esperanza \(p \), y la varianza es la suma de las varianzas gracias a la independencia.
Probabilidades acumuladas y suceso contrario
Al lanzar una moneda \(10 \) veces, \(X \sim B(10; 0,5) \) cuenta las caras.
Hay \(\binom{10}{5} = 252 \) secuencias con cinco caras, cada una con probabilidad \(0,5^{10} \), luego \(P(X = 5) = \frac{252}{1024} \approx 0,2461 \)
Muchos ejercicios piden probabilidades del tipo "al menos \(k \)" o "más de \(k \)".
La estrategia general es sumar probabilidades puntuales: \(P(X \geq k) = \sum_{j=k}^{n} P(X = j) \)
Cuando \(k \) está cerca de \(n \) suele ser más corto usar el suceso contrario: \(P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1) \), y en particular \(P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^{n} \)
El modelo de Poisson
Con \(X \sim B(10; 0,5) \), la probabilidad de al menos nueve caras se calcula mejor por el suceso contrario corto: $$P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10) = \frac{10 + 1}{1024} = \frac{11}{1024} \approx 0,0107 $$
Cuando se cuenta el número de sucesos que ocurren en un intervalo de tiempo o en una región del espacio, con una tasa media constante \(\lambda \) y sin un número fijo de ensayos, el modelo adecuado es el de Poisson: \(X \sim P(\lambda) \), con función de probabilidad $$P(X = k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k}}{k!} $$ para \(k = 0, 1, 2, \dots \)
En el modelo de Poisson la esperanza y la varianza coinciden con la tasa: \(E(X) = \lambda \) y \(Var(X) = \lambda \)
Dos propiedades prácticas: primero, la tasa se escala con el tamaño del intervalo, de modo que si la tasa es \(\lambda \) por hora, en \(t \) horas la tasa es \(\lambda t \); segundo, el modelo de Poisson es el límite del modelo binomial cuando \(n \) es grande, \(p \) es pequeña y el producto \(np = \lambda \) se mantiene constante, por lo que aproxima bien el conteo de sucesos raros.
El modelo binomial negativo
Una centralita recibe una media de \(\lambda = 3 \) llamadas por hora: \(X \sim P(3) \) y $$P(X = 2) = e^{-3} \frac{3^2}{2!} \approx 0,0498 \cdot 4,5 \approx 0,2240 $$
En dos horas la tasa se duplica: \(\lambda = 6 \)
Si se repiten ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad de éxito \(p \) hasta conseguir un número fijo \(r \) de éxitos, la variable \(X \) que cuenta el número total de ensayos necesarios sigue un modelo binomial negativo de parámetros \(r \) y \(p \)
Su función de probabilidad es $$P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^{r} (1-p)^{k-r} $$ para \(k = r, r+1, \dots \)
La justificación:
para necesitar exactamente \(k \) ensayos, los \(r-1 \) primeros éxitos deben ocurrir en los \(k-1 \) primeros ensayos, lo que puede hacerse de \(\binom{k-1}{r-1} \) formas, cada una con probabilidad \(p^{r-1}(1-p)^{k-r} \), y el último ensayo debe ser el éxito número \(r \), con probabilidad \(p \)
Una equivalencia muy útil: necesitar al menos \(k \) ensayos equivale a haber obtenido como máximo \(r-1 \) éxitos en los \(k-1 \) primeros ensayos, que es un suceso binomial: \(P(X \geq k) = P(Y \leq r-1) \) con \(Y \sim B(k-1; p) \)
El modelo geométrico, que estudiaremos en la sección 4.2, es el caso particular \(r = 1 \) de este modelo.
Un agente de seguros vende pólizas a 5 individuos de la misma edad.
La probabilidad de que un individuo de esa edad viva 30 años más es de tres quintos.
Calculamos la probabilidad de que vivan los cinco y la de que viva al menos uno.
Definiremos la variable que cuenta cuántos individuos sobreviven e identificaremos el modelo binomial, que es el adecuado porque hay un número fijo de ensayos independientes con la misma probabilidad de éxito.
Calcularemos primero la probabilidad puntual de que vivan los cinco y después la probabilidad de que viva al menos uno usando el suceso contrario.
Identificación del modelo.
Sea \(X \) el número de individuos que viven dentro de 30 años.
Hay \(n = 5 \) ensayos independientes, cada uno con dos resultados posibles y probabilidad de éxito constante \(p = \frac{3}{5} = 0,6 \)
Por tanto \(X \sim B(5; 0,6) \), es decir, un modelo binomial.
Probabilidad de que vivan los cinco individuos.
Probabilidad de que viva al menos un individuo (suceso contrario).
La probabilidad de que vivan los cinco individuos es \(P(X = 5) = 0,0778 \), aproximadamente, y la de que viva al menos uno es \(P(X \geq 1) = 0,9898 \), aproximadamente.
En un taller hay 10 máquinas iguales.
Una máquina tomada al azar está averiada un día de cada cinco.
Calculamos la probabilidad de que en un día haya más de 4 máquinas averiadas.
Definiremos la variable que cuenta las máquinas averiadas e identificaremos el modelo binomial, adecuado porque hay un número fijo de máquinas, cada una está averiada o no con la misma probabilidad y de forma independiente.
Como se pide "más de 4", usaremos el suceso contrario y sumaremos las probabilidades de que haya como máximo 4 máquinas averiadas.
Identificación del modelo.
Sea \(X \) el número de máquinas averiadas en un día.
Hay \(n = 10 \) ensayos independientes con probabilidad constante \(p = \frac{1}{5} = 0,2 \) de que la máquina esté averiada.
Por tanto \(X \sim B(10; 0,2) \)
Uso del suceso contrario.
\(P(X > 4) = 1 - P(X \leq 4) \), donde:
Cálculo de cada probabilidad puntual.
Suma y resta del contrario.
La probabilidad de que en un día haya más de 4 máquinas averiadas es \(P(X > 4) = 0,0328 \), aproximadamente.
Una central telefónica recibe un promedio de 60 llamadas por hora.
Calculamos la probabilidad de que, durante los 30 segundos que falta la telefonista, no haya llamadas.
Identificaremos el modelo de Poisson, adecuado porque se cuentan llamadas en un intervalo de tiempo con una tasa media conocida.
Primero convertiremos la tasa de llamadas por hora a llamadas por 30 segundos, y después calcularemos la probabilidad de que el número de llamadas sea cero con la función de probabilidad de Poisson.
Identificación del modelo y de la tasa.
Sea \(X \) el número de llamadas durante los 30 segundos que falta la telefonista.
El modelo de Poisson es el adecuado porque se cuenta el número de llamadas en un intervalo de tiempo con una tasa media constante.
Como 30 segundos es \(\frac{1}{120} \) de hora, la media para 30 segundos es:
y \(X \sim P(0,5) \)
Función de probabilidad de Poisson.
Cálculo para cero llamadas.
La probabilidad de que no haya llamadas durante esos 30 segundos es \(P(X = 0) = 0,6065 \), aproximadamente.
Las erratas de impresión de una página de cierta edición siguen una distribución de Poisson, e hay dos erratas de media por página.
En una revista de 20 páginas, calculamos la probabilidad de que en una o más páginas se encuentren más de 5 erratas.
Trabajaremos en dos etapas con dos modelos distintos.
Primero identificaremos el modelo de Poisson para el número de erratas de una página y calcularemos la probabilidad de que una página tenga más de 5 erratas.
Después identificaremos el modelo binomial para contar cuántas de las 20 páginas superan ese umbral, y calcularemos la probabilidad de que sea al menos una usando el suceso contrario.
Modelo de Poisson para las erratas de una página.
Sea \(X \) el número de erratas de una página.
El modelo de Poisson es el adecuado porque se cuentan erratas en una página con una media constante, con \(\lambda = 2 \)
Escribimos \(X \sim P(2) \)
Probabilidad de que una página tenga más de 5 erratas.
La suma acumulada hasta 5 vale \(0,9834 \), luego la probabilidad de que una página tenga más de 5 erratas es:
Modelo binomial para las 20 páginas.
Sea \(Y \) el número de páginas, de las 20, con más de 5 erratas.
Cada página supera el umbral con probabilidad constante \(p = 0,0166 \) y de forma independiente, por lo que \(Y \sim B(20; 0,0166) \), es decir, un modelo binomial.
Probabilidad de que sea al menos una página.
La probabilidad de que en una o más páginas se encuentren más de 5 erratas es \(P(Y \geq 1) = 0,2840 \), aproximadamente.
Se arroja al aire una moneda no trucada tantas veces como sea necesario para obtener 5 caras.
Calculamos la probabilidad de que haya que lanzarla 12 veces y la de tener que lanzarla al menos 9 veces.
Definiremos la variable que cuenta el número de lanzamientos necesarios para obtener la quinta cara e identificaremos el modelo binomial negativo, adecuado porque se repiten ensayos independientes hasta obtener un número fijo de éxitos.
Para la probabilidad puntual usaremos su función de probabilidad, y para "al menos 9 veces" transformaremos el suceso en uno equivalente sobre el número de caras en los 8 primeros lanzamientos, que sigue un modelo binomial.
Identificación del modelo.
Sea \(X \) el número de lanzamientos necesarios para obtener 5 caras.
Se repiten lanzamientos independientes hasta obtener \(r = 5 \) éxitos, con probabilidad de éxito constante \(p = 0,5 \)
Por tanto \(X \) sigue un modelo binomial negativo de parámetros \(r = 5 \) y \(p = 0,5 \)
Probabilidad de necesitar exactamente 12 lanzamientos.
Para necesitar 12 lanzamientos, las 4 primeras caras deben salir en los 11 primeros y la quinta cara en el lanzamiento 12:
pues \(\binom{11}{4} = 330 \) y \(0,5^{12} = \frac{1}{4096} \)
Equivalencia del suceso "al menos 9 veces".
Necesitar al menos 9 lanzamientos equivale a no haber obtenido las 5 caras en los 8 primeros lanzamientos.
Sea \(Y \) el número de caras en los 8 primeros lanzamientos; como son 8 ensayos independientes con probabilidad \(0,5 \), \(Y \sim B(8; 0,5) \)
Entonces:
Cálculo de la suma.
pues \(\binom{8}{0} = 1 \), \(\binom{8}{1} = 8 \), \(\binom{8}{2} = 28 \), \(\binom{8}{3} = 56 \) y \(\binom{8}{4} = 70 \)
La probabilidad de que haya que lanzar la moneda 12 veces es \(P(X = 12) = 0,0806 \), aproximadamente, y la de tener que lanzarla al menos 9 veces es \(P(X \geq 9) = 0,6367 \), aproximadamente.
Un mayorista vende sus productos a 10 almacenes diferentes.
Cada uno puede enviar una orden de pedido para el próximo día con probabilidad 0,4, independientemente de los demás.
Calculamos el número medio de órdenes y la probabilidad de que el número de órdenes coincida con ese valor medio.
Definiremos la variable que cuenta las órdenes de pedido e identificaremos el modelo binomial, adecuado porque hay un número fijo de almacenes, cada uno envía orden o no con la misma probabilidad y de forma independiente.
Calcularemos la esperanza del modelo y después la probabilidad puntual de obtener exactamente ese valor.
Identificación del modelo.
Sea \(X \) el número de almacenes que envían una orden de pedido.
Hay \(n = 10 \) ensayos independientes con probabilidad de éxito constante \(p = 0,4 \)
Por tanto \(X \sim B(10; 0,4) \)
Número medio de órdenes.
El número medio de órdenes es la esperanza del modelo binomial:
Probabilidad del número medio.
Se pide \(P(X = 4) \)
Con la función de probabilidad del modelo binomial:
El número medio de órdenes de pedido es \(E(X) = 4 \) órdenes, y la probabilidad de que el número de órdenes coincida con ese valor medio es \(P(X = 4) = 0,2508 \), aproximadamente.
En un juego de dados cuyo resultado solo depende de la suma de dos dados, un rival propone usar unos dados con las caras 1, 2, 2, 3, 3 y 4 en el primero y 1, 3, 4, 5, 6 y 8 en
el segundo, afirmando que la distribución de la suma es la misma que con dos dados corrientes.
Verificamos matemáticamente si tiene razón.
Recordaremos primero la distribución de la suma con dos dados corrientes contando los casos favorables de cada suma entre los 36 resultados posibles.
Después construiremos la tabla de las 36 sumas con los dados propuestos y contaremos cuántas veces aparece cada suma.
Por último compararemos ambas distribuciones.
Distribución de la suma con dos dados corrientes.
Con dos dados normales hay \(6 \cdot 6 = 36 \) resultados equiprobables.
Contando los casos favorables de cada suma se obtiene: la suma 2 aparece 1 vez, la 3 aparece 2 veces, la 4 aparece 3 veces, la 5 aparece 4 veces, la 6 aparece 5 veces, la 7 aparece 6 veces, la 8 aparece 5 veces, la 9 aparece 4 veces, la 10 aparece 3 veces, la 11 aparece 2 veces y la 12 aparece 1 vez.
Tabla de sumas con los dados del rival.
Con el dado 1 (caras 1, 2, 2, 3, 3, 4) en las filas y el dado 2 (caras 1, 3, 4, 5, 6, 8) en las columnas, las 36 sumas posibles son:
Recuento de cada suma.
Contando en la tabla cuántas veces aparece cada suma: la suma 2 aparece 1 vez, la 3 aparece 2 veces, la 4 aparece 3 veces, la 5 aparece 4 veces, la 6 aparece 5 veces, la 7 aparece 6 veces, la 8 aparece 5 veces, la 9 aparece 4 veces, la 10 aparece 3 veces, la 11 aparece 2 veces y la 12 aparece 1 vez.
En total $$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 $$ casos, como debía ser.
Comparación.
El recuento de casos favorables para cada suma coincide exactamente con el de dos dados corrientes, luego las probabilidades de cada suma son idénticas en ambos juegos.
Sí, el rival tiene razón: la suma obtenida con los dados de caras 1, 2, 2, 3, 3, 4 y 1, 3, 4, 5, 6 y 8 tiene exactamente la misma distribución de probabilidad que la suma obtenida con dos dados corrientes.