3.7 3.7 Medias y varianzas de las distribuciones marginales

La media de cada variable se calcula con su distribución marginal

La distribución marginal de $X $ recoge, para cada valor $X_i $, su frecuencia marginal $n_{i.} = \sum_j n_{ij} $, es decir, cuántas observaciones toman ese valor de $X $ sea cual sea el valor de $Y $

Toda la información sobre $X $ por separado está contenida en su marginal, de modo que su media se calcula directamente desde ella, sin necesidad de volver a la tabla conjunta: $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_i n_{i.} \, X_i $

El total de observaciones es $n = \sum_i n_{i.} $

Para $Y $ el cálculo es análogo con su propia marginal: $\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_j n_{.j} \, Y_j $, donde $n_{.j} = \sum_i n_{ij} $

Si los datos están agrupados en intervalos, los valores $X_i \ \text{e}\\Y_j $ se sustituyen por las marcas de clase $x_i \ \text{e}\\y_j $, como se vio en la sección 3.

📝 Ejemplo:

La distribución marginal de $X $ es: el valor $10 $ con frecuencia marginal $6 $, el valor $20 $ con frecuencia marginal $3 $ y el valor $30 $ con frecuencia marginal $1 $

El total de observaciones es $n = 6 + 3 + 1 = 10 $

La media es $$\bar{x} = \frac{6\cdot 10 + 3\cdot 20 + 1\cdot 30}{10} = \frac{150}{10} = 15 $$

La varianza de cada variable se calcula también con su marginal

📝 Ejemplo:

En una encuesta a $40 $ familias se observa $X $, el número de hijos, con valores $0 $, $1 $ y $2 $ y frecuencias marginales $n_{1.} = 12 $, $n_{2.} = 20 $ y $n_{3.} = 8 $

La media se calcula solo con la marginal: $$\bar{x} = \frac{0 \cdot 12 + 1 \cdot 20 + 2 \cdot 8}{40} = \frac{36}{40} = 0,9 $$ hijos por familia.

La varianza de $X $ es la media de los cuadrados de las desviaciones de sus valores respecto a su media: $$S_X^2 = \frac{1}{n}\sum_i n_{i.} \, (X_i - \bar{x})^2 $$

En la práctica se usa la fórmula operativa, equivalente a la anterior: $$S_X^2 = \frac{1}{n}\sum_i n_{i.} \, X_i^2 - \bar{x}^2 $$, es decir, la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media.

Para $Y $: $$S_Y^2 = \frac{1}{n}\sum_j n_{.j} \, (Y_j - \bar{y})^2 = \frac{1}{n}\sum_j n_{.j} \, Y_j^2 - \bar{y}^2 $$

Las desviaciones típicas son las raíces cuadradas positivas, $$S_X = \sqrt{S_X^2} \ \text{e}\\S_Y = \sqrt{S_Y^2} $$, y se miden en las mismas unidades que $X \ \text{e}\\Y $, respectivamente.

Cálculo de la media y la varianza desde una marginal

📝 Ejemplo:

Supongamos que la distribución marginal de $X $ es: el valor $1 $ con frecuencia $4 $, el valor $2 $ con frecuencia $5 $ y el valor $3 $ con frecuencia $1 $; en total $n = 10 $ observaciones.

La media es $$\bar{x} = \frac{4\cdot 1 + 5\cdot 2 + 1\cdot 3}{10} = \frac{17}{10} = 1,7 $$

La varianza, con la fórmula operativa, es $$S_X^2 = \frac{4\cdot 1^2 + 5\cdot 2^2 + 1\cdot 3^2}{10} - 1,7^2 = \frac{33}{10} - 2,89 = 3,3 - 2,89 = 0,41 $$

📝 Ejemplo 1: medias y varianzas marginales de una tabla de doble entrada

Enunciado: Se han observado el precio $X $ (en euros) y la valoración $Y $ (en estrellas, de 1 a 5) de $25 $ productos, con los resultados recogidos en la siguiente tabla de doble entrada.

Calcula $\bar{x} $, $\bar{y} $, $S_X^2 $ y $S_Y^2 $

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X \text{(filas) } Y \text{(columnas)} & 4 & 5 & n_{i.} \\ \hline 10 & 6 & 4 & 10 \\ \hline 20 & 9 & 6 & 15 \\ \hline n_{.j} & 15 & 10 & 25 \\ \hline \end{array} $$

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener las frecuencias marginales de $X \ \text{e}\\Y $ sumando por filas y por columnas.

A continuación calcularemos las medias $\bar{x} \ \text{e}\\\bar{y} $. Para terminar hallaremos las varianzas $S_X^2 $ y $S_Y^2 $ con la fórmula operativa.

👉 PASO 1

Frecuencias marginales.

Sumando por filas se obtiene la marginal de $X $: $n_{1.} = 6 + 4 = 10 $ para $X_1 = 10 $, y $n_{2.} = 9 + 6 = 15 $ para $X_2 = 20 $

Sumando por columnas se obtiene la marginal de $Y $: $n_{.1} = 6 + 9 = 15 $ para $Y_1 = 4 $, y $n_{.2} = 4 + 6 = 10 $ para $Y_2 = 5 $

El total es $n = 10 + 15 = 25 $, que coincide con $15 + 10 $

👉 PASO 2

Cálculo de las medias.

$$\bar{x} = \frac{10\cdot 10 + 15\cdot 20}{25} = \frac{100 + 300}{25} = \frac{400}{25} = 16 $$ euros.

$$\bar{y} = \frac{15\cdot 4 + 10\cdot 5}{25} = \frac{60 + 50}{25} = \frac{110}{25} = 4,4 $$ estrellas.

👉 PASO 3

Cálculo de las varianzas.

$$S_X^2 = \frac{10\cdot 10^2 + 15\cdot 20^2}{25} - 16^2 = \frac{1000 + 6000}{25} - 256 = 280 - 256 = 24 $$ euros al cuadrado, de modo que $S_X = \sqrt{24} \approx 4,90 $ euros.

$$S_Y^2 = \frac{15\cdot 4^2 + 10\cdot 5^2}{25} - 4,4^2 = \frac{240 + 250}{25} - 19,36 = 19,6 - 19,36 = 0,24 $$ estrellas al cuadrado, de modo que $S_Y = \sqrt{0,24} \approx 0,49 $ estrellas.

✅ Conclusión

Así pues, el precio medio es $\bar{x} = 16 $ euros con varianza $S_X^2 = 24 $, y la valoración media es $\bar{y} = 4,4 $ estrellas con varianza $S_Y^2 = 0,24 $

📝 Ejemplo 2: Medias y varianzas marginales con datos agrupados en intervalos

Enunciado:

Se observan la edad $X $ (en años) y el número de compras $Y $ de $50 $ clientes, con la siguiente tabla de doble entrada.

Calcula $\bar{x} $, $\bar{y} $, $S_X^2 $ y $S_Y^2 $

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Edad Compras} & 1 & 2 & n_{i.} \\ \hline (20, 30] & 8 & 12 & 20 \\ \hline (30, 40] & 10 & 10 & 20 \\ \hline (40, 50] & 6 & 4 & 10 \\ \hline n_{.j} & 24 & 26 & 50 \\ \hline \end{array} $$

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por obtener las marcas de clase de la edad y las frecuencias marginales de ambas variables.

A continuación calcularemos las medias $\bar{x} \ \text{e}\\\bar{y} $

Para terminar hallaremos las varianzas $S_X^2 $ y $S_Y^2 $ con la fórmula operativa.

👉 PASO 1

Marcas de clase y marginales.

Las marcas de $X $ son $25 $, $35 $ y $45 $

Las frecuencias marginales de $X $ son $n_{1.} = 20 $, $n_{2.} = 20 $ y $n_{3.} = 10 $; las de $Y $ son $n_{.1} = 8 + 10 + 6 = 24 $ y $n_{.2} = 12 + 10 + 4 = 26 $

👉 PASO 2

Medias marginales.

$$\bar{x} = \frac{25 \cdot 20 + 35 \cdot 20 + 45 \cdot 10}{50} = \frac{500 + 700 + 450}{50} = \frac{1650}{50} = 33 $$ años.

$$\bar{y} = \frac{1 \cdot 24 + 2 \cdot 26}{50} = \frac{24 + 52}{50} = \frac{76}{50} = 1,52 $$ compras.

👉 PASO 3

Varianzas marginales.

$$S_X^2 = \frac{25^2 \cdot 20 + 35^2 \cdot 20 + 45^2 \cdot 10}{50} - 33^2 = \frac{12500 + 24500 + 20250}{50} - 1089 = \frac{57250}{50} - 1089 = 1145 - 1089 = 56 $$

$$S_Y^2 = \frac{1^2 \cdot 24 + 2^2 \cdot 26}{50} - 1,52^2 = \frac{24 + 104}{50} - 2,3104 = \frac{128}{50} - 2,3104 = 2,56 - 2,3104 = 0,2496 $$

✅ Conclusión

La edad media es $33 $ años con varianza $56 $, y el número medio de compras es $1,52 $ con varianza $0,2496 $

Todos los cálculos usan solo las distribuciones marginales, sin volver a la tabla conjunta.

📝 Ejemplo 3: Medias y varianzas marginales con frecuencias relativas

Enunciado:

Con los datos del ejemplo anterior, calcula $\bar{x} $ y $S_X^2 $ utilizando las frecuencias relativas marginales $f_{i.} = \frac{n_{i.}}{n} $, y comprueba que coinciden con los valores ya obtenidos.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos calculando las frecuencias relativas marginales de $X $

A continuación obtendremos la media como suma de marcas por frecuencias relativas.

Para terminar calcularemos la varianza con la fórmula operativa en versión relativa.

👉 PASO 1

Frecuencias relativas marginales.

$f_{1.} = \frac{20}{50} = 0,4 $, $f_{2.} = \frac{20}{50} = 0,4 $, $f_{3.} = \frac{10}{50} = 0,2 $

Se cumple $0,4 + 0,4 + 0,2 = 1 $

👉 PASO 2

Media con frecuencias relativas.

$$\bar{x} = 25 \cdot 0,4 + 35 \cdot 0,4 + 45 \cdot 0,2 = 10 + 14 + 9 = 33 $$, el mismo valor del ejemplo anterior.

👉 PASO 3

Varianza con frecuencias relativas.

$$S_X^2 = (25^2 \cdot 0,4 + 35^2 \cdot 0,4 + 45^2 \cdot 0,2) - 33^2 = (250 + 490 + 405) - 1089 = 1145 - 1089 = 56 $$, que coincide con el cálculo con frecuencias absolutas.

✅ Conclusión

Trabajar con frecuencias relativas marginales da los mismos resultados que con frecuencias absolutas: $\bar{x} = 33 $ y $S_X^2 = 56 $

La versión relativa es útil cuando se comparan muestras de distinto tamaño.