3.2 3.2 Tablas de contingencia o de doble entrada
Qué es una tabla de contingencia
La distribución conjunta de \((X, Y) \) se presenta de forma ordenada en una tabla de doble entrada, llamada tabla de contingencia o tabla de contingencia.
En las filas se colocan los valores de \(X \), \(X_1, X_2, \dots, X_k \), y en las columnas los valores de \(Y \), \(Y_1, Y_2, \dots, Y_m \), ambos ordenados de menor a mayor.
En la celda que está en la intersección de la fila \(i \) y la columna \(j \) se escribe la frecuencia conjunta \(n_{ij} \)
La tabla tiene así tantas filas como valores de \(X \) y tantas columnas como valores de \(Y \)
Con \(X \) = nivel de ruido (bajo, alto) e \(Y \) = molestia declarada (poca, mucha), la tabla de \(2 \times 2 \) coloca en cada celda el número de vecinos con esa pareja de valores: es la presentación ordenada de la distribución conjunta.
La fila y la columna de totales marginales
A la tabla se le añade una columna final con los totales por filas y una fila final con los totales por columnas.
El total de la fila \(i \) es la frecuencia marginal \(n_{i.} = \sum_{j=1}^{m} n_{ij} \): el número de individuos con \(X = X_i \), sea cual sea su valor de \(Y \)
El total de la columna \(j \) es la frecuencia marginal \(n_{.j} = \sum_{i=1}^{k} n_{ij} \): el número de individuos con \(Y = Y_j \), sea cual sea su valor de \(X \)
En la esquina inferior derecha aparece el gran total \(n \), que se obtiene tanto sumando los totales de las filas como sumando los totales de las columnas.
En la tabla anterior, si la fila «ruido bajo» suma 30 vecinos, entonces \(n_{1.} = 30 \): hay 30 vecinos con ruido bajo, sea cual sea su molestia declarada.
Y si la columna «mucha molestia» suma 22, entonces \(n_{.2} = 22 \)
Cómo se construye a partir de los datos brutos
Los datos brutos de un estudio bidimensional son una lista de parejas \((X_i, Y_j) \), una por individuo.
Para construir la tabla se recorre la lista y se cuenta cuántas veces aparece cada pareja: ese recuento es la frecuencia \(n_{ij} \) de la celda correspondiente.
Una vez rellenas todas las celdas, se suman las filas para obtener los marginales \(n_{i.} \) y se suman las columnas para obtener los marginales \(n_{.j} \)
Como comprobación, la suma de todas las celdas debe coincidir con el número de parejas de la lista, es decir, con \(n \)
Se clasifican \(50 \) trabajadores según el sexo, \(X \) con valores \(X_1 \) hombre y \(X_2 \) mujer, y el tipo de contrato, \(Y \) con valores \(Y_1 \) temporal e \(Y_2 \) indefinido.
Los datos brutos son \(50 \) parejas; las ocho primeras son: (hombre, temporal), (mujer, indefinido), (hombre, indefinido), (hombre, temporal), (mujer, temporal), (hombre, indefinido), (mujer, indefinido) y (hombre, indefinido).
Contando las coincidencias en la lista completa se obtiene la siguiente tabla de contingencia con sus marginales:
Por ejemplo, \(n_{12} = 18 \): hay \(18 \) hombres con contrato indefinido.
Los totales marginales son \(n_{1.} = 12 + 18 = 30 \) hombres, \(n_{2.} = 9 + 11 = 20 \) mujeres, \(n_{.1} = 12 + 9 = 21 \) contratos temporales y \(n_{.2} = 18 + 11 = 29 \) indefinidos.
La suma de las filas \(30 + 20 = 50 \) coincide con la suma de las columnas \(21 + 29 = 50 \): el gran total es \(n = 50 \)
Se clasifican \(80 \) alumnos según su nota en Matemáticas, \(X \) con valores suspenso, aprobado y notable, y su nota en Lengua, \(Y \) con los mismos valores.
El recuento de las parejas produce las siguientes frecuencias conjuntas:
a) Construye la tabla de contingencia e interpreta el significado de \(n_{11} \), \(n_{23} \) y \(n_{33} \)
b) Verifica que la suma de las nueve celdas es \(n = 80 \)
Explicación:
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar las variables y sus valores, y construiremos la tabla de contingencia con las frecuencias dadas.
A continuación leeremos en la tabla las frecuencias pedidas e interpretaremos su significado.
Para terminar sumaremos las nueve celdas y comprobaremos que el resultado coincide con el total de alumnos.
Las variables y la tabla de contingencia.
\(X_1 \) es suspenso en Matemáticas, \(X_2 \) aprobado y \(X_3 \) notable; lo mismo para \(Y_1, Y_2, Y_3 \) en Lengua.
La tabla anterior es la tabla de contingencia: \(3 \) filas por los valores de \(X \) y \(3 \) columnas por los valores de \(Y \), con las frecuencias conjuntas \(n_{ij} \) en las celdas.
Lectura de algunas frecuencias conjuntas.
\(n_{11} = 6 \): \(6 \) alumnos suspendieron las dos asignaturas.
\(n_{23} = 12 \): \(12 \) alumnos aprobaron Matemáticas y obtuvieron notable en Lengua.
\(n_{33} = 18 \): \(18 \) alumnos obtuvieron notable en las dos asignaturas.
Verificación de que la suma de las celdas es n.
Sumamos las nueve frecuencias conjuntas:
La suma coincide con el total de alumnos, \(n = 80 \): ningún alumno se ha contado dos veces ni se ha quedado fuera de la tabla.
Conclusión:
La tabla de contingencia recoge las nueve frecuencias conjuntas de las notas en Matemáticas y Lengua de los \(80 \) alumnos.
La verificación $$\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} n_{ij} = 80 = n $$ confirma que la tabla es coherente con los datos: la suma de todas las celdas reproduce el total de individuos.
Enunciado: Se clasifican \(24 \) trabajadores según el contrato, \(X \) con valores \(X_1 \) = temporal y \(X_2 \) = indefinido, y el sector, \(Y \) con valores \(Y_1 \) = industria e \(Y_2 \) = servicios.
El recuento de las parejas da: 5 temporales en industria, 7 temporales en servicios, 9 indefinidos en industria y 3 indefinidos en servicios.
a) Construye la tabla de contingencia con la fila y la columna de totales marginales.
b) Interpreta el significado de \(n_{12} \) y \(n_{21} \)
c) Verifica que la suma por filas y por columnas reproduce \(n = 24 \)
Explicación:
Para resolver este ejercicio empezaremos por colocar las frecuencias conjuntas en la tabla de doble entrada.
A continuación añadiremos los totales marginales por filas y por columnas, y leeremos las frecuencias pedidas.
Para terminar comprobaremos que ambas sumas coinciden con el total de trabajadores.
Tabla de contingencia con marginales.
Los totales por filas son \(n_{1.} = 5 + 7 = 12 \) y \(n_{2.} = 9 + 3 = 12 \)
Los totales por columnas son \(n_{.1} = 5 + 9 = 14 \) y \(n_{.2} = 7 + 3 = 10 \)
Lectura de algunas frecuencias conjuntas.
\(n_{12} = 7 \): hay \(7 \) trabajadores temporales en el sector servicios.
\(n_{21} = 9 \): hay \(9 \) trabajadores indefinidos en la industria.
Verificación del gran total.
Suma por filas: \(12 + 12 = 24 \)
Suma por columnas: \(14 + 10 = 24 \)
Ambas coinciden con \(n = 24 \): la tabla es coherente.
Conclusión: La tabla de contingencia recoge las cuatro frecuencias conjuntas con sus marginales: \(12 \) temporales y \(12 \) indefinidos por filas; \(14 \) en industria y \(10 \) en servicios por columnas.
La doble verificación \(12 + 12 = 14 + 10 = 24 \) confirma que ningún trabajador se ha contado dos veces ni se ha quedado fuera.
Enunciado: Se clasifican \(38 \) personas según la edad, \(X \) con valores \(X_1 \) = joven, \(X_2 \) = adulto y \(X_3 \) = mayor, y si usa internet a diario, \(Y \) con valores \(Y_1 \) = sí e \(Y_2 \) = no.
Las frecuencias conjuntas son: joven, 10 sí y 2 no; adulto, 8 sí y 6 no; mayor, 3 sí y 9 no.
a) Construye la tabla de contingencia con marginales e interpreta \(n_{31} \)
b) Verifica el gran total sumando por filas y por columnas.
Explicación:
Para resolver este ejercicio empezaremos por colocar las frecuencias en la tabla de doble entrada con sus marginales.
A continuación leeremos la frecuencia pedida e interpretaremos su significado.
Para terminar comprobaremos que la suma por filas y por columnas reproduce el total de personas.
Tabla de contingencia con marginales.
Los totales por filas son \(10 + 2 = 12 \), \(8 + 6 = 14 \) y \(3 + 9 = 12 \)
Los totales por columnas son \(10 + 8 + 3 = 21 \) y \(2 + 6 + 9 = 17 \)
Lectura de la frecuencia pedida.
\(n_{31} = 3 \): hay \(3 \) personas mayores que usan internet a diario.
Verificación del gran total.
Suma por filas: \(12 + 14 + 12 = 38 \)
Suma por columnas: \(21 + 17 = 38 \)
Ambas coinciden con \(n = 38 \): la tabla es coherente.
Conclusión: La tabla de contingencia recoge las seis frecuencias conjuntas con sus marginales.
La doble verificación \(12 + 14 + 12 = 21 + 17 = 38 \) confirma que la tabla reproduce el total de personas.