2.8 2.8 Los momentos
2.8 Los Momentos
La distribución del dado es simétrica respecto a \(3,5 \): las desviaciones positivas y negativas se compensan y \(\mu_3 = 0 \), luego \(\gamma_1 = 0 \)
En un dado cargado hacia valores altos, la cola derecha sería más larga y \(\gamma_1 > 0 \)
Momentos respecto al origen
En esta sección veremos que los momentos resumen la distribución: al lanzar un dado, \(m_1 = E(X) = 3,5 \), \(m_2 = E(X^2) = \frac{91}{6} \) y el momento central de orden dos es \(\mu_2 = m_2 - m_1^2 = \frac{35}{12} \), la varianza.
El momento de orden \(k \) respecto al origen de una variable aleatoria \(X \) se define como la esperanza de la potencia k-ésima de la variable: \(m_k = E(X^k) \)
En el caso discreto, \(m_k = \sum_{i=1}^{n} x_i^k \cdot p(x_i) \); en el caso continuo, $$m_k = \int_{-\infty}^{+\infty} x^k \cdot f(x) \, dx $$
El momento de orden uno es la media: \(m_1 = E(X) = \mu \)
Momentos centrales
Al lanzar un dado, el momento de orden uno respecto al origen es la media, \(m_1 = E(X) = 3,5 \), y el de orden dos es $$m_2 = E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} $$
El momento central de orden \(k \) se define como la esperanza de la potencia k-ésima de la desviación respecto a la media: \(\mu_k = E[(X - \mu)^k] \)
El momento central de orden uno siempre es cero: \(\mu_1 = E(X - \mu) = E(X) - \mu = 0 \)
El momento central de orden dos es la varianza: \(\mu_2 = E[(X - \mu)^2] = \text{Var}(X) \)
Relaciones entre momentos respecto al origen y momentos centrales
Para el dado, con \(\mu = 3,5 \), el momento central de orden uno es \(\mu_1 = E(X - 3,5) = 3,5 - 3,5 = 0 \), y el de orden dos es \(\mu_2 = E[(X - 3,5)^2] = \frac{35}{12} \), que es la varianza.
Desarrollando las potencias se obtienen las relaciones entre ambos tipos.
La más usada es la de orden dos, que es la fórmula de Steiner: \(\mu_2 = m_2 - m_1^2 \)
Para el orden tres se tiene \(\mu_3 = m_3 - 3 m_2 m_1 + 2 m_1^3 \), que se obtiene desarrollando $$(X - \mu)^3 = X^3 - 3\mu X^2 + 3\mu^2 X - \mu^3 $$ y tomando esperanzas término a término.
Coeficientes de asimetría y curtosis
Con el dado se comprueba la relación de orden dos: $$\mu_2 = m_2 - m_1^2 = \frac{91}{6} - 3,5^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12} $$, la fórmula de Steiner que ya conocíamos.
Los momentos centrales de orden tres y cuatro describen la forma de la distribución.
El coeficiente de asimetría se define como \(\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3} \): vale cero en las distribuciones simétricas, es positivo si la cola de la derecha es más larga y negativo si lo es la de la izquierda.
El coeficiente de curtosis o exceso de curtosis se define como \(\gamma_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3 \): vale cero en la distribución normal, es positivo en distribuciones más apuntadas y negativo en las más aplanadas.
Sea \(X \) la variable que mide los puntos de un dado equilibrado.
Calcula los momentos respecto al origen de órdenes uno, dos y tres, el momento central de orden dos y el coeficiente de asimetría.
Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular los tres primeros momentos respecto al origen aplicando la definición.
A continuación obtendremos el momento central de orden dos con la fórmula de Steiner.
Para terminar calcularemos el momento central de orden tres directamente y de ahí el coeficiente de asimetría.
Momentos respecto al origen.
El momento de orden uno es la media: $$m_1 = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} $$
El momento de orden dos: $$m_2 = \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2}{6} = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} $$
El momento de orden tres: $$m_3 = \frac{1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3}{6} = \frac{1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216}{6} = \frac{441}{6} = \frac{147}{2} $$
Momento central de orden dos.
Aplicamos la relación de Steiner: $$\mu_2 = m_2 - m_1^2 = \frac{91}{6} - \left( \frac{7}{2} \right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12} $$
Como era de esperar, coincide con la varianza del dado.
Momento central de orden tres y asimetría.
Calculamos directamente la esperanza de los cubos de las desviaciones respecto a la media tres coma cinco.
Las desviaciones son menos dos coma cinco, menos uno coma cinco, menos cero coma cinco, cero coma cinco, uno coma cinco y dos coma cinco; sus cubos son menos quince coma seiscientos veinticinco, menos tres coma trescientos setenta y cinco, menos cero coma ciento veinticinco, cero coma ciento veinticinco, tres coma trescientos setenta y cinco y quince coma seiscientos veinticinco.
Al ser simétricos dos a dos, su suma es cero, luego \(\mu_3 = 0 \)
Por tanto, el coeficiente de asimetría es \(\gamma_1 = \frac{0}{\sigma^3} = 0 \), como corresponde a una distribución simétrica.
El dado tiene asimetría nula, como corresponde a una distribución simétrica.
Sea \(X \) una variable uniforme en el intervalo entre cero y uno.
Calcula sus dos primeros momentos respecto al origen, su varianza como momento central de orden dos y su coeficiente de curtosis.
Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular los momentos respecto al origen integrando las potencias.
A continuación obtendremos la varianza con la fórmula de Steiner.
Para terminar calcularemos el momento central de orden cuatro y de ahí el coeficiente de curtosis.
Momentos respecto al origen.
Varianza como momento central de orden dos.
Momento central de orden cuatro y curtosis.
El coeficiente de curtosis es $$\gamma_2 = \frac{1/80}{(1/12)^2} - 3 = \frac{1/80}{1/144} - 3 = \frac{144}{80} - 3 = 1,8 - 3 = -1,2 $$
El valor negativo indica que la uniforme es más aplanada que la normal.
Sea \(X \) una variable exponencial de parámetro \(\lambda = 1 \), con densidad \(f(x) = e^{-x} \) para \(x \geq 0 \)
Se sabe que sus momentos respecto al origen son \(m_k = k! \)
Calcula su coeficiente de asimetría.
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir los tres primeros momentos respecto al origen.
A continuación calcularemos el momento central de orden tres con su fórmula de relación.
Para terminar obtendremos el coeficiente de asimetría y lo interpretaremos.
Primeros momentos respecto al origen.
De la fórmula dada: \(m_1 = 1! = 1 \), \(m_2 = 2! = 2 \), \(m_3 = 3! = 6 \)
Momento central de orden tres.
Aplicamos la relación entre momentos:
Coeficiente de asimetría.
La varianza es \(\mu_2 = m_2 - m_1^2 = 2 - 1 = 1 \), luego \(\sigma = 1 \) y \(\sigma^3 = 1 \)
Por tanto:
El coeficiente es positivo, lo que confirma que la distribución exponencial tiene asimetría positiva: su cola se alarga hacia la derecha.