2.7 2.7 La moda
2.7 La Moda
Si un dado cargado da \(P(1) = P(6) = 0,35 \) y \(0,1 \) a cada uno de los demás valores, hay dos modas, \(1 \) y \(6 \): la distribución es bimodal.
En un dado equilibrado, los seis valores tienen la misma probabilidad y no hay moda única.
Definición de moda
En esta sección veremos que la moda es el valor más probable: en un dado cargado donde el seis tiene probabilidad \(0,5 \) y cada uno de los demás valores tiene probabilidad \(0,1 \), la moda es \(Mo = 6 \)
La moda es el valor de la variable al que corresponde la mayor probabilidad o la mayor densidad, es decir, el valor más probable o más verosímil de la distribución.
Se denota por \(Mo \)
Junto con la media y la mediana, la moda es una de las tres medidas de posición o de centralización más utilizadas.
Moda en una variable discreta
La moda \(Mo \) es, junto con la media y la mediana, una medida de posición: indica el valor más probable de la distribución, aquel que observaríamos con más frecuencia si repitiéramos el experimento muchas veces.
En una variable aleatoria discreta, la moda es el valor \(x_i \) cuya probabilidad \(p(x_i) \) es máxima.
Basta recorrer la tabla de probabilidades y quedarse con el valor asociado a la probabilidad más alta.
Moda en una variable continua
Un dado cargado da los valores \(1 \) a \(5 \) con probabilidad \(0,1 \) cada uno y el \(6 \) con probabilidad \(0,5 \)
Recorriendo la tabla, la probabilidad máxima es la del seis, luego \(Mo = 6 \)
En una variable aleatoria continua, la moda es el valor donde la función de densidad \(f(x) \) alcanza su máximo.
Para hallarla se deriva la densidad, se iguala la derivada a cero y se comprueba que el punto crítico es un máximo, bien con la segunda derivada, bien estudiando el signo de la primera derivada a su alrededor.
Distribuciones bimodales y casos sin moda única
Sea \(X \) continua con densidad \(f(x) = 2x \) en \([0, 1] \)
Como \(f'(x) = 2 > 0 \), la densidad es creciente y alcanza su máximo en el extremo derecho: \(Mo = 1 \)
La moda no tiene por qué ser única.
Si dos valores comparten la máxima probabilidad, la distribución es bimodal;
si son más, es multimodal.
En una distribución uniforme, todos los valores tienen la misma probabilidad o densidad, por lo que no existe una moda única: cualquier valor podría considerarse modal.
En las distribuciones simétricas y unimodales, como la normal, la media, la mediana y la moda coinciden en el centro de simetría.
Un dado cargado presenta la siguiente distribución de probabilidad: los valores uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis tienen probabilidades cero coma uno, cero coma uno, cero coma uno, cero coma dos, cero coma cuatro y cero coma uno, respectivamente.
Determina la moda y compárala con la media.
Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar la probabilidad máxima de la tabla.
A continuación calcularemos la media para poder comparar ambas medidas.
Para terminar interpretaremos la diferencia entre ellas.
Identificación de la moda.
Recorremos las probabilidades: cero coma uno, cero coma uno, cero coma uno, cero coma dos, cero coma cuatro, cero coma uno.
La mayor de todas es cero coma cuatro, que corresponde al valor cinco.
Por tanto, la moda es \(Mo = 5 \)
Cálculo de la media para comparar.
La moda es cinco, mientras que la media es cuatro.
La moda indica el resultado más probable en una tirada concreta, que es el cinco por el cargado del dado; la media indica el promedio a largo plazo.
En distribuciones asimétricas, ambas medidas pueden diferir notablemente.
La densidad de la distribución normal estándar es \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} e^{-x^2/2}} \)
Determina su moda.
Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar la función de densidad.
A continuación igualaremos la derivada a cero para hallar el punto crítico.
Para terminar comprobaremos que se trata de un máximo.
Derivada de la densidad.
Derivamos aplicando la regla de la cadena.
La derivada del exponente \(-\frac{x^2}{2} \) es \(-x \), luego:
Punto crítico.
Igualamos la derivada a cero:
La densidad es positiva y tiende a cero en ambos infinitos, con un único punto crítico en cero; por tanto, ese punto es el máximo global.
La moda es \(Mo = 0 \), que coincide con la media y con la mediana, como corresponde a una distribución simétrica y unimodal.
Una variable discreta toma los valores cero, uno, dos, tres y cuatro con probabilidades cero coma cero cinco, cero coma treinta y cinco, cero coma dos, cero coma treinta y cinco y cero coma cero cinco, respectivamente.
Determina sus modas.
Para resolver este ejemplo empezaremos por buscar la probabilidad máxima en la tabla.
A continuación identificaremos todos los valores que alcanzan dicha probabilidad máxima.
Para terminar clasificaremos la distribución según el número de modas.
Búsqueda de la probabilidad máxima.
Las probabilidades son cero coma cero cinco, cero coma treinta y cinco, cero coma dos, cero coma treinta y cinco y cero coma cero cinco.
El valor máximo es cero coma treinta y cinco.
Identificación de las modas.
La probabilidad máxima cero coma treinta y cinco se alcanza en dos valores: el uno y el tres.
Por tanto, la distribución tiene dos modas: \(Mo_1 = 1 \) y \(Mo_2 = 3 \)
Al tener dos modas, la distribución es bimodal.
Este tipo de distribuciones aparece, por ejemplo, cuando la población estudiada es mezcla de dos grupos con comportamientos distintos, cada uno concentrado alrededor de una de las modas.