2.6 2.6 Los percentiles
2.6 Los Percentiles
Al lanzar un dado, la distribución salta de \(F(2) = \frac{2}{6} \) a \(F(3) = \frac{3}{6} = 0,5 \): ningún valor da exactamente \(0,4 \)
El percentil de orden \(0,4 \) es el menor valor con \(F \geq 0,4 \), es decir, \(x_{0,4} = 3 \)
Definición de percentil
En esta sección aprenderemos a invertir la distribución:
si \(X \) es uniforme en \([0, 10] ,\ \text{con}\ F(x) = \frac{x}{10} \), el percentil de orden \(0,9 \) es \(x_{0,9} = 9 \), y los cuartiles son \(2,5 \), \(5 \) y \(7,5 \)
Dado un número \(p \) entre cero y uno, el percentil de orden \(p \) es el valor \(x_p \) tal que la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual que él es exactamente \(p \)
Con la función de distribución \(F \), la condición se escribe \(F(x_p) = p \)
Dicho de otro modo: el percentil de orden pe es el valor que deja por debajo al cien por pe por ciento de la distribución y por encima al resto.
Por ejemplo, el percentil de orden cero coma noventa es el valor que solo supera el diez por ciento de los casos.
Cuartiles, mediana y deciles
Si \(X \) es uniforme en \([0, 10] \), el percentil de orden \(0,9 \) es el valor que deja por debajo al \(90 \) por ciento de la distribución: \(x_{0,9} = 9 \), pues \(F(9) = \frac{9}{10} = 0,9 \)
Los percentiles más utilizados tienen nombre propio.
Los cuartiles dividen la distribución en cuatro partes iguales: el primer cuartil \(Q_1 \) es el percentil de orden cero coma veinticinco, el segundo cuartil \(Q_2 \) es el percentil de orden cero coma cinco, y el tercer cuartil \(Q_3 \) es el percentil de orden cero coma setenta y cinco.
El segundo cuartil recibe el nombre especial de mediana y se denota por \(Me \): es el valor que divide la distribución en dos mitades iguales.
Los deciles \(D_1, D_2, \ldots, D_9 \) dividen la distribución en diez partes iguales.
El rango intercuartílico, definido como \(IQR = Q_3 - Q_1 \), mide la dispersión del cincuenta por ciento central de los datos.
Cálculo de percentiles en variables continuas
Para la uniforme en \([0, 10] \), los cuartiles son \(Q_1 = 2,5 \), \(Q_2 = Me = 5 \) y \(Q_3 = 7,5 \), y el primer decil es \(D_1 = 1 \): cada cuartil deja por debajo una cuarta parte más de la distribución.
En una variable continua con función de distribución \(F \) conocida, el percentil de orden \(p \) se obtiene resolviendo la ecuación \(F(x) = p \), es decir, invirtiendo la función de distribución.
Para la mediana, la condición equivale a que el área bajo la densidad hasta la mediana sea un medio: \(\int_{-\infty}^{Me} f(x) \, dx = 0,5 \)
Percentiles en variables discretas
En la uniforme en \([0, 10] \), la mediana se obtiene de \(F(x) = \frac{x}{10} = 0,5 \), de donde \(x = 5 \)
El área bajo la densidad hasta \(5 \) es \(\frac{1}{10} \cdot 5 = 0,5 \), la mitad del área total.
En una variable discreta puede no existir ningún valor cuya función de distribución valga exactamente \(p \), porque la función de distribución salta de un valor a otro.
En ese caso se toma como percentil el menor valor cuya función de distribución sea mayor o igual que \(p \)
Sea \(X \) una variable uniforme en el intervalo entre cero y diez, cuya función de distribución es \(F(x) = \frac{x}{10} \) para valores de equis entre cero y diez.
Calcula la mediana, los cuartiles primero y tercero, el rango intercuartílico y el percentil de orden cero coma noventa.
Para resolver este ejemplo empezaremos por plantear la ecuación de la función de distribución igualada a cada orden pedido.
A continuación despejaremos el valor en cada caso.
Para terminar calcularemos el rango intercuartílico como diferencia de cuartiles.
Mediana y cuartiles.
Para la mediana resolvemos \(F(x) = 0,5 \):
Para el primer cuartil resolvemos \(F(x) = 0,25 \):
Para el tercer cuartil resolvemos \(F(x) = 0,75 \):
Rango intercuartílico.
Percentil de orden cero coma noventa.
El noventa por ciento de los valores de la distribución están por debajo de nueve, como era de esperar en una uniforme entre cero y diez.
Sea \(X \) una variable con densidad \(f(x) = e^{-x} \) para \(x \geq 0 \), cuya función de distribución es \(F(x) = 1 - e^{-x} \)
Calcula la mediana y el percentil de orden cero coma noventa y cinco.
Para resolver este ejemplo empezaremos por igualar la función de distribución a un medio para hallar la mediana.
A continuación despejaremos aplicando logaritmos neperianos.
Para terminar repetiremos el proceso con el orden cero coma noventa y cinco.
Cálculo de la mediana.
Igualamos la función de distribución a un medio:
Cálculo del percentil de orden cero coma noventa y cinco.
La mediana, cero coma sesenta y nueve, es menor que la media, que vale uno: en las distribuciones asimétricas con cola a la derecha, la mediana queda por debajo de la media.
Una variable discreta toma los valores uno, dos, tres y cuatro con probabilidades cero coma uno, cero coma tres, cero coma cuatro y cero coma dos, respectivamente.
Calcula su mediana, su primer cuartil y su percentil de orden cero coma noventa.
Para resolver este ejemplo empezaremos por construir la función de distribución acumulando las probabilidades.
A continuación aplicaremos la regla del menor valor con función de distribución mayor o igual que el orden pedido.
Para terminar obtendremos cada percentil solicitado.
Función de distribución.
Acumulamos las probabilidades: \(F(1) = 0,1 \), \(F(2) = 0,1 + 0,3 = 0,4 \), \(F(3) = 0,4 + 0,4 = 0,8 \), \(F(4) = 0,8 + 0,2 = 1 \)
Mediana.
Buscamos el menor valor con función de distribución mayor o igual que cero coma cinco.
Como \(F(2) = 0,4 \) no llega a un medio y \(F(3) = 0,8 \) sí lo supera, la mediana es tres.
Primer cuartil y percentil noventa.
Para el primer cuartil buscamos el menor valor con función de distribución mayor o igual que cero coma veinticinco: \(F(1) = 0,1 \) no llega, pero \(F(2) = 0,4 \) sí, luego el primer cuartil es dos.
Para el percentil de orden cero coma noventa: \(F(3) = 0,8 \) no llega a cero coma noventa, pero \(F(4) = 1 \) sí, luego dicho percentil es cuatro.
La mediana es tres, el primer cuartil es dos y el percentil de orden cero coma noventa es cuatro.