2.3 2.3 Valor esperado de una transformación
2.3 Valor Esperado De Una Transformación
Al lanzar un dado, \(E(X^2) = \frac{91}{6} \approx 15,17 \) mientras que \((E[X])^2 = 3,5^2 = 12,25 \): la esperanza no conmuta con el cuadrado, y su diferencia \(\frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12} \) es la varianza.
Esperanza de una función de una variable aleatoria
En esta sección veremos cómo calcular la esperanza de una transformada sin hallar su distribución: al lanzar un dado, $$E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15,17 $$, ponderando cada cuadrado por su probabilidad de un sexto.
Si \(Y = g(X) \) es una transformación de la variable \(X \), su esperanza se puede calcular directamente a partir de la distribución de \(X \), sin hallar la distribución de \(Y \)
En el
caso discreto:
En el
caso continuo:
Este resultado se conoce como la ley del estadístico inconsciente: aplicamos la función a cada valor y ponderamos con las probabilidades originales.
Linealidad completa de la esperanza
Al lanzar un dado equilibrado, la esperanza de \(Y = X^2 \) se calcula directamente con la distribución de \(X \): $$E(X^2) = \sum_{i=1}^{6} i^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{91}{6} \approx 15,17 $$, sin necesidad de construir la distribución de \(Y \)
La propiedad de linealidad se extiende a la suma de dos variables aleatorias: \(E(X + Y) = E(X) + E(Y) \)
Esta propiedad es válida siempre, sean las variables independientes o no.
Combinada con la linealidad ya vista, permite calcular la esperanza de cualquier combinación lineal sin conocer la distribución conjunta.
Además, si \(X \ \text{e}\\Y \) son independientes, se cumple que \(E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y) \); sin independencia esta igualdad no tiene por qué cumplirse.
Advertencia: la esperanza no conmuta con funciones no lineales
Si \(X \ \text{e}\\Y \) son las puntuaciones de dos dados independientes, con \(E(X) = E(Y) = 3,5 \), entonces \(E(X + Y) = 3,5 + 3,5 = 7 \) y, por ser independientes, \(E(X \cdot Y) = 3,5 \cdot 3,5 = 12,25 \)
En general, \(E[g(X)] \neq g(E[X]) \) cuando la función \(g \) no es lineal.
El caso más importante es el cuadrado: \(E(X^2) \neq (E[X])^2 \)
De hecho, como veremos en la sección de la varianza, la diferencia entre ambas cantidades es precisamente la varianza, que siempre es mayor o igual que cero.
Solo para funciones lineales del tipo \(g(x) = a x + b \) se cumple la igualdad.
Sea \(X \) la variable que mide los puntos de un dado equilibrado y sea \(Y = X^2 \)
Calcula la esperanza de \(Y \) y compárala con el cuadrado de la esperanza de \(X \)
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por recordar la esperanza de equis mayúscula calculada en la sección anterior.
A continuación aplicaremos la fórmula de la esperanza de una transformación con la función cuadrado.
Para terminar compararemos el resultado con el cuadrado de la esperanza para ilustrar la advertencia teórica.
Esperanza de equis.
De la sección anterior sabemos que \(E(X) = 3,5 = \frac{7}{2} \), luego $$(E[X])^2 = \left( \frac{7}{2} \right)^2 = \frac{49}{4} = 12,25 $$
Esperanza de i griega aplicando la transformación.
Aplicamos la función cuadrado a cada valor y ponderamos con probabilidad un sexto:
Conclusión:
Noventa y uno partido por seis es aproximadamente quince coma diecisiete, claramente distinto de doce coma veinticinco.
Se confirma que \(E(X^2) \neq (E[X])^2 \): la esperanza no conmuta con la función cuadrado.
Sea \(X \) una variable uniforme en el intervalo entre cero y uno, y sea \(Y = 3X + 2 \)
Calcula la esperanza de \(Y \)
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por recordar la esperanza de la variable uniforme.
A continuación aplicaremos la linealidad de la esperanza a la transformación.
Para terminar comprobaremos el resultado calculando directamente la integral de la transformación.
Esperanza de la variable original.
Por la fórmula de la uniforme, \(E(X) = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2} \)
Aplicación de la linealidad.
Como la transformación es lineal, basta aplicar la propiedad:
Comprobación mediante la integral directa.
Aplicando la fórmula de la esperanza de una transformación en el
caso continuo:
El resultado coincide, lo que confirma que para transformaciones lineales basta aplicar la linealidad.
Conclusión:
Ambos procedimientos coinciden en siete medios:
para transformaciones lineales basta aplicar la linealidad.
Una variable discreta toma los valores menos uno, cero y dos con probabilidades cero coma tres, cero coma cuatro y cero coma tres, respectivamente.
Calcula la esperanza de \(2X - 1 \) y la esperanza de \(X^2 \)
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular la esperanza de equis mayúscula con la definición.
A continuación obtendremos la esperanza de la transformación lineal usando la linealidad.
Para terminar calcularemos la esperanza de la transformación cuadrática aplicando la función a cada valor.
Esperanza de la variable original.
Esperanza de la transformación lineal.
Esperanza de la transformación cuadrática.
Aplicamos la función cuadrado a cada valor:
Obsérvese que uno coma cinco es distinto del cuadrado de la esperanza, que sería cero coma cero nueve: de nuevo, la esperanza no conmuta con el cuadrado.
Conclusión:
De nuevo se comprueba que la esperanza no conmuta con el cuadrado: uno coma cinco es distinto de cero coma cero nueve.