2.1 2.1 Esperanza matemática de una variable aleatoria discreta
2.1 Esperanza Matemática De Una Variable Aleatoria Discreta
La esperanza del dado es \(3,5 \), pero ningún lanzamiento muestra tres coma cinco puntos: los valores posibles son solo los enteros del \(1 \) al \(6 \)
La esperanza es un promedio teórico, no un resultado observable.
La variable aleatoria discreta y su función de probabilidad
En esta sección veremos que la esperanza es una media ponderada por probabilidades: al lanzar un dado equilibrado, $$E(X) = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + 5 \cdot 1 + 6 \cdot 1}{6} = \frac{21}{6} = 3,5 $$, un valor que el dado nunca muestra pero que es su centro de gravedad.
Una variable aleatoria discreta \(X \) es aquella que solo puede tomar un conjunto finito o numerable de valores aislados, que denotamos por \(x_1, x_2, \ldots, x_n \)
La función de probabilidad asigna a cada valor posible su probabilidad: \(p(x_i) \) es la probabilidad de que \(X \) tome el valor \(x_i \)
Esta función debe cumplir dos condiciones.
Primera, que ninguna probabilidad sea negativa: \(p(x_i) \geq 0 \)
Segunda, que la suma de todas las probabilidades sea igual a uno: \(\sum_{i=1}^{n} p(x_i) = 1 \)
Definición de la esperanza matemática
Si \(X \) es el número de caras en dos monedas, sus valores posibles son \(0 \), \(1 \) y \(2 \), con función de probabilidad \(p(0) = \frac{1}{4} \), \(p(1) = \frac{1}{2} \) y \(p(2) = \frac{1}{4} \), que son no negativas y suman uno.
La esperanza matemática de una variable aleatoria discreta, también llamada valor esperado o media de la distribución, se define como la suma de cada valor posible multiplicado por su probabilidad:
Obsérvese que la fórmula es exactamente la de una media ponderada, donde los pesos son las probabilidades de cada valor.
Interpretación de la esperanza como valor medio a largo plazo
Al lanzar un dado equilibrado, cada valor \(1 \) a \(6 \) tiene probabilidad \(\frac{1}{6} \), luego $$E(X) = \sum_{i=1}^{6} i \cdot \frac{1}{6} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3,5 $$: cada valor ponderado por su probabilidad.
Si repetimos el experimento aleatorio un número muy grande de veces y calculamos la media aritmética de los valores observados, esa media se acerca cada vez más a la esperanza matemática.
Por eso la esperanza se interpreta como el valor medio que cabe esperar a largo plazo, es decir, como el centro de gravedad de la distribución de probabilidad.
Propiedades de la esperanza
Si lanzamos un dado mil veces y promediamos los resultados, obtendremos un valor próximo a \(3,5 \); con diez mil lanzamientos, aún más próximo.
La media observada se estabiliza alrededor de la esperanza: ese es su significado como valor medio a largo plazo.
La esperanza de una cantidad constante es la propia constante: \(E(c) = c \), puesto que una constante toma ese valor con probabilidad uno.
La propiedad más importante es la linealidad:
para cualesquiera constantes \(a \) y \(b \) se cumple que \(E(aX + b) = a \cdot E(X) + b \)
La demostración se obtiene aplicando la definición y separando la suma:
Como casos particulares se obtienen \(E(X + b) = E(X) + b \) y \(E(aX) = a \cdot E(X) \)
Observación: la esperanza no tiene por qué ser un valor posible
Con \(X \) igual a la puntuación del dado, \(E(X) = 3,5 \), la linealidad da directamente \(E(2X + 3) = 2 \cdot 3,5 + 3 = 10 \), sin necesidad de calcular la distribución de \(2X + 3 \)
La esperanza es un promedio teórico y, en general, no coincide con ninguno de los valores que puede tomar la variable.
Lo veremos con claridad en el primer ejemplo: la esperanza del dado es tres coma cinco, un valor que el dado jamás muestra.
Sea \(X \) la variable que mide los puntos obtenidos al lanzar un dado equilibrado.
Calcula su esperanza matemática.
Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar los valores posibles de la variable y sus probabilidades.
A continuación aplicaremos la definición de esperanza como suma de valores por probabilidades.
Para terminar interpretaremos el resultado obtenido.
Valores posibles y sus probabilidades.
Los valores posibles son uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis.
Como el dado es equilibrado, todos son igual de probables, con probabilidad \(p = \frac{1}{6} \) cada uno.
Aplicación de la definición de esperanza.
Sustituimos los valores y las probabilidades en la fórmula de la esperanza:
La esperanza es tres coma cinco.
Obsérvese que este valor no es un resultado posible del dado: es el valor medio que se obtendría al lanzar el dado un número muy grande de veces y promediar los puntos.
Se lanza una moneda equilibrada:
si sale cara se ganan dos euros y si sale cruz se pierde un euro.
Sea \(X \) la ganancia obtenida en una partida.
Calcula la ganancia media esperada por partida.
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la distribución de probabilidad de la ganancia.
A continuación aplicaremos la definición de esperanza.
Para terminar interpretaremos el signo del resultado para decidir si el juego es favorable al jugador.
Distribución de probabilidad de la ganancia.
La variable toma el valor dos con probabilidad un medio, cuando sale cara, y el valor menos uno con probabilidad un medio, cuando sale cruz.
Cálculo de la esperanza.
Aplicamos la definición multiplicando cada ganancia por su probabilidad:
La ganancia media esperada es un medio de euro, es decir, cero coma cinco euros por partida.
Como el valor es positivo, el juego es favorable al jugador a largo plazo: jugando muchas partidas, el jugador ganaría en promedio medio euro por partida.
Una variable aleatoria discreta toma los valores cero, uno, dos y tres con probabilidades cero coma dos, cero coma cinco, cero coma dos y cero coma uno, respectivamente.
Calcula la esperanza de \(X \) y la esperanza de \(Y = 2X + 5 \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por comprobar que las probabilidades suman uno.
A continuación calcularemos la esperanza de equis mayúscula aplicando la definición.
Para terminar obtendremos la esperanza de i griega mayúscula usando la propiedad de linealidad, sin necesidad de calcular su distribución.
Comprobación de las probabilidades.
Sumamos las probabilidades dadas: cero coma dos más cero coma cinco más cero coma dos más cero coma uno es igual a uno, luego se trata de una función de probabilidad válida.
Cálculo de la esperanza de equis mayúscula.
Aplicamos la definición:
Cálculo de la esperanza de i griega mayúscula mediante la linealidad.
Por la propiedad de linealidad de la esperanza:
La esperanza de la variable transformada es siete coma cuatro, obtenida directamente a partir de la esperanza original sin calcular la distribución de i griega.