1.3 Variables aleatorias discretas
1.3 Variables aleatorias discretas
El soporte de la variable número de caras en dos monedas es \(\{0, 1, 2\} \), los valores con masa positiva.
Fuera del soporte, por ejemplo en \(x = 5 \), se tiene \(p(5) = 0 \) y la distribución no presenta ningún salto.
Definición de variable aleatoria discreta
En esta sección veremos que el número de caras en dos monedas es una variable discreta con función de masa \(p(0) = \frac{1}{4} \), \(p(1) = \frac{1}{2} \) y \(p(2) = \frac{1}{4} \), cuya suma es uno y cuya distribución es escalonada.
Una variable aleatoria \(X \) es discreta cuando su recorrido \(X(\Omega) \) es un conjunto finito, como \(\{0, 1, 2\} \), o infinito numerable, como \(\{1, 2, 3, \dots\} \)
Es decir, los valores que puede tomar se pueden listar uno a uno, aunque la lista no termine nunca.
Son discretas el número de caras en varios lanzamientos, el número de clientes que llegan en una hora o el número de lanzamientos hasta obtener el primer seis.
Función de masa de probabilidad
El número de caras en dos lanzamientos tiene recorrido finito \(\{0, 1, 2\} \), luego es una variable discreta.
El número de lanzamientos necesarios hasta obtener el primer seis tiene recorrido infinito numerable \(\{1, 2, 3, \dots\} \): también es discreta, porque sus valores se pueden listar uno a uno.
Para una variable discreta toda la información está en la función de masa de probabilidad, definida por \(p(x) = P(X = x) \) para cada valor \(x \) del recorrido.
Esta función verifica dos condiciones fundamentales.
Primera, no negatividad: \(p(x) \geq 0 \) para todo \(x \), por ser una probabilidad.
Segunda, normalización: \(\sum_x p(x) = 1 \), donde la suma recorre todos los valores del recorrido.
La demostración usa que los sucesos \(\{X = x\} \), al recorrer \(x \) todos los valores del recorrido, son disjuntos dos a dos y su unión es todo el espacio muestral \(\Omega \), porque todo resultado toma algún valor del recorrido.
Por el tercer axioma en su forma numerable, $$\sum_x P(X = x) = P\left(\bigcup_x \{X = x\}\right) = P(\Omega) = 1 $$
Recíprocamente, cualquier función que verifique estas dos condiciones es la función de masa de alguna variable discreta: basta tomar como espacio muestral el conjunto donde la función es positiva, asignar a cada punto la probabilidad que indica la función y tomar como variable la identidad, que a cada resultado le asigna su propio valor.
Función de distribución de una variable discreta
Si \(X \) es el número de caras en dos monedas, su función de masa es \(p(0) = \frac{1}{4} \), \(p(1) = \frac{1}{2} \) y \(p(2) = \frac{1}{4} \)
Se verifican las dos condiciones: cada masa es no negativa y \(\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1 \)
En el caso discreto la función de distribución se calcula acumulando las masas: \(F(x) = \sum_{t \leq x} p(t) \)
La gráfica de \(F \) es una función escalonada: permanece constante entre valores consecutivos del recorrido y presenta en cada valor \(x \) un salto de tamaño exactamente \(p(x) \)
Por eso en las variables discretas los puntos aislados sí tienen probabilidad positiva, a diferencia de lo que ocurrirá en las continuas.
El soporte de la variable
Con la variable del ejemplo anterior, \(F(0,5) = p(0) = \frac{1}{4} \) y \(F(1) = p(0) + p(1) = \frac{3}{4} \): la gráfica permanece constante entre \(0 \) y \(1 \) y en \(x = 1 \) presenta un salto de tamaño \(p(1) = \frac{1}{2} \)
Se llama soporte de la variable discreta al conjunto de valores con probabilidad estrictamente positiva: \(\{x : p(x) > 0\} \)
Fuera del soporte la función de probabilidad vale cero y la función de distribución no presenta saltos.
Identificar el soporte es el primer paso para trabajar con cualquier variable discreta.
Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular la probabilidad de cada valor del recorrido usando el espacio muestral.
A continuación comprobaremos que la suma de las masas es uno.
Para terminar construiremos la función de distribución escalonada y calcularemos la probabilidad pedida.
Cálculo de la función de masa de probabilidad.
El recorrido es \(\{0, 1, 2\} \)
De los cuatro resultados equiprobables del espacio muestral, uno da cero caras, dos dan una cara y uno da dos caras:
Comprobación de la normalización.
Sumamos las tres masas:
Se verifica la condición de normalización, luego la función propuesta es una auténtica función de probabilidad.
Función de distribución y probabilidad pedida.
Acumulando las masas obtenemos la función escalonada:
Los saltos son de tamaño \(\frac{1}{4} \) en cero, \(\frac{1}{2} \) en uno y \(\frac{1}{4} \) en dos.
La probabilidad pedida es:
Equivalentemente, por el complementario, $$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $$
Así pues, la función de masa describe por completo la variable discreta.
Para resolver este ejemplo empezaremos por imponer la condición de normalización para despejar la constante.
A continuación escribiremos la función de probabilidad concreta.
Para terminar calcularemos la probabilidad y el valor de la función de distribución pedidos.
Determinación de la constante por normalización.
La suma de las masas sobre el recorrido debe ser uno:
Despejando:
La función de probabilidad queda \(p(1) = \frac{1}{10} \), \(p(2) = \frac{2}{10} \), \(p(3) = \frac{3}{10} \), \(p(4) = \frac{4}{10} \), todos valores no negativos cuya suma es uno.
Cálculo de la probabilidad pedida.
El suceso \(\{X > 2\} \) contiene los valores tres y cuatro:
Valor de la función de distribución.
La función de distribución acumula las masas hasta el punto:
Observemos que \(F(2,5) = F(2) \), pues entre dos y tres la función escalonada permanece constante.
Así pues, la normalización determina por completo la distribución.
Para resolver este ejemplo empezaremos por deducir la probabilidad de necesitar exactamente un número dado de lanzamientos.
A continuación comprobaremos la normalización sumando la serie geométrica resultante.
Para terminar calcularemos las dos probabilidades pedidas.
Deducción de la función de masa de probabilidad.
Para necesitar exactamente \(k \) lanzamientos, los \(k - 1 \) primeros deben ser cruz y el último cara.
Por independencia:
El recorrido es infinito numerable: \(\{1, 2, 3, \dots\} \)
Comprobación de la normalización.
Sumamos la serie geométrica de razón \(\frac{1}{2} \):
La serie suma uno: la función está correctamente normalizada aunque el recorrido sea infinito.
Cálculo de las probabilidades pedidas.
Acumulamos las tres primeras masas:
Por el complementario:
Así pues, incluso con infinitos valores posibles, la función de masa describe completamente la variable discreta.