1.2 1.2 Función de distribución
1.2 Función de distribución
La puntuación de un dado equilibrado y la variable que vale \(1 \) si sale par y \(0 \) si sale impar no comparten función de distribución, luego su comportamiento probabilístico es distinto.
En cambio, dos dados equilibrados distintos tienen la misma \(F \): son probabilísticamente indistinguibles.
Definición de función de distribución
En esta sección veremos que la función de distribución resume toda la variable: al lanzar un dado con \(X \) igual a la puntuación, \(F(3,5) = P(X \leq 3,5) = \frac{3}{6} = 0,5 \), y a partir de \(F \) se calcula cualquier probabilidad de intervalos.
Dada una variable aleatoria \(X \), se define su función de distribución como \(F(x) = P(X \leq x), \quad x \in \mathbb{R} \)
Es una función \(F: \mathbb{R} \rightarrow [0, 1] \) que a cada número real \(x \) le asigna la probabilidad acumulada hasta ese valor.
La función de distribución contiene toda la información probabilística de la variable: conociendo \(F \) podemos calcular la probabilidad de cualquier intervalo o punto sin volver al espacio muestral original.
Propiedades fundamentales de la función de distribución
Al lanzar un dado equilibrado y tomar \(X \) como la puntuación, la función de distribución en \(x = 2 \) vale $$F(2) = P(X \leq 2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$, la probabilidad acumulada de obtener uno o dos.
Toda función de distribución verifica las cuatro propiedades siguientes.
Primera, está acotada entre cero y uno: \(0 \leq F(x) \leq 1 \), por ser \(F(x) \) una probabilidad.
Segunda, es monótona no decreciente:
si \(x_1 \leq x_2 \) entonces \(F(x_1) \leq F(x_2) \)
La demostración parte de que si \(x_1 \leq x_2 \), todo resultado con \(X(\omega) \leq x_1 \) cumple también \(X(\omega) \leq x_2 \), de modo que \(\{X \leq x_1\} \subseteq \{X \leq x_2\} \)
Por la monotonía de la probabilidad demostrada en la sección 0.6, $$F(x_1) = P(X \leq x_1) \leq P(X \leq x_2) = F(x_2) $$
Tercera, es continua por la derecha en todo punto: \(\lim_{h \to 0^+} F(x + h) = F(x) \)
Cuarta, sus límites en los extremos son \(\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 \) y \(\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1 \), pues la probabilidad se acumula desde cero hasta la certeza total.
Probabilidades de intervalos y de puntos
Con el dado, \(F(1) = \frac{1}{6} \) y \(F(6) = 1 \): la función no decrece y va de cero a uno.
Además \(\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 \) y \(\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1 \)
La utilidad práctica de \(F \) está en estas fórmulas.
La probabilidad de un intervalo semiabierto se obtiene por diferencia de valores acumulados: \(P(a < X \leq b) = F(b) - F(a) \)
La demostración descompone $$\{X \leq b\} = \{X \leq a\} \cup \{a < X \leq b\} $$ en dos sucesos disjuntos, de donde \(F(b) = F(a) + P(a < X \leq b) \) y despejando se obtiene la fórmula.
Además, \(P(X > x) = 1 - F(x) \) por ser el complementario, y la probabilidad de un punto es el salto de la función: \(P(X = x) = F(x) - F(x^-) \), donde \(F(x^-) \) denota el límite por la izquierda.
La función de distribución caracteriza la distribución
Al lanzar un dado, la probabilidad de obtener más de dos y como mucho cinco es $$P(2 < X \leq 5) = F(5) - F(2) = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = 0,5 $$, que coincide con contar \(\{3, 4, 5\} \)
Dos variables aleatorias con la misma función de distribución tienen idéntico comportamiento probabilístico, aunque provengan de experimentos distintos.
Por eso decimos que \(F \) caracteriza la distribución de \(X \)
En las secciones 1.3 y 1.4 veremos las dos formas concretas que adopta: escalonada en las variables discretas y absolutamente continua en las variables continuas.
Calcula P(1 < X ≤ 1,5), P(X > 1) y P(X = 1)
Para resolver este ejemplo empezaremos por comprobar que la función propuesta verifica las propiedades de una función de distribución.
A continuación calcularemos la probabilidad del intervalo aplicando la fórmula de la diferencia.
Para terminar calcularemos la probabilidad del complementario y razonaremos la probabilidad del punto usando la continuidad.
Verificación de las propiedades.
La función vale cero antes de cero y uno después de dos, y en el tramo intermedio \(\frac{x^2}{4} \) es continua y creciente, con \(F(0) = 0 \) y \(F(2) = \frac{4}{4} = 1 \)
Por tanto está acotada entre cero y uno, es no decreciente, es continua en todo punto y sus límites en los extremos son cero y uno: es una auténtica función de distribución.
Probabilidad del intervalo.
Aplicamos la fórmula \(P(a < X \leq b) = F(b) - F(a) \) con \(a = 1 \) y \(b = 1,5 \):
En forma de fracción: \(\frac{9}{16} - \frac{4}{16} = \frac{5}{16} \)
Probabilidad del complementario y del punto.
Por el complementario:
Como la función de distribución es continua en \(x = 1 \), no hay salto en ese punto y por tanto:
Así pues, en una variable continua cada punto aislado tiene probabilidad cero, mientras que los intervalos tienen probabilidad positiva.
Para resolver este ejemplo empezaremos por construir la función de distribución del dado acumulando las probabilidades de cada valor.
A continuación evaluaremos la función en el punto pedido.
Para terminar aplicaremos las fórmulas de intervalos, puntos y complementarios para calcular las tres probabilidades.
Construcción de la función de distribución.
Cada valor del dado tiene probabilidad \(\frac{1}{6} \)
La función de distribución acumula estas probabilidades: vale cero antes del uno, va subiendo de sexto en sexto y vale uno desde el seis:
Es una función escalonada con saltos de tamaño \(\frac{1}{6} \) en cada entero entre uno y seis.
Verificamos las propiedades: está entre cero y uno, es no decreciente, es continua por la derecha y sus límites en menos y más infinito son cero y uno.
Evaluación en un punto no entero.
Para \(x = 3,5 \), como \(3 \leq 3,5 < 4 \), estamos en el escalón \(k = 3 \):
El valor acumulado hasta tres coma cinco incluye las puntuaciones uno, dos y tres, es decir, la mitad de los casos.
Probabilidad del intervalo.
Aplicamos la fórmula de la diferencia de valores acumulados:
El intervalo contiene las puntuaciones tres, cuatro y cinco: tres casos de seis.
Probabilidad de un punto y del complementario.
La probabilidad de un punto es el salto de la función en ese punto:
Para el suceso contrario usamos el complementario:
Así pues, todas las probabilidades se obtienen directamente de la función de distribución.
x) si x > 0 es una función de distribución, y calcula P(1 < X ≤ 3).
Para resolver este ejemplo empezaremos por verificar una a una las cuatro propiedades de la función de distribución.
A continuación calcularemos los valores de la función en los extremos del intervalo.
Para terminar aplicaremos la fórmula de la diferencia para obtener la probabilidad pedida.
Acotación y monotonía.
Para \(x > 0 \) se tiene \(0 < \frac{x}{1+x} < 1 \), luego \(0 \leq G(x) \leq 1 \) en todo punto.
La derivada del tramo positivo es \(G'(x) = \frac{1}{(1+x)^2} > 0 \), luego la función es estrictamente creciente donde es positiva y, por tanto, no decreciente en toda la recta.
Continuidad por la derecha y límites.
En \(x = 0 \) el límite por la derecha vale \(\lim_{x \to 0^+} \frac{x}{1+x} = 0 = G(0) \), luego es continua por la derecha.
Los límites en los extremos son:
Se verifican las cuatro propiedades: \(G \) es una auténtica función de distribución.
Cálculo de la probabilidad del intervalo.
Evaluamos en los extremos:
Aplicamos la fórmula de la diferencia:
Así pues, la verificación de las propiedades nos garantiza que los cálculos de probabilidades son legítimos.