1.1 1.1 Concepto de variables aleatorias
1.1 Concepto de variable aleatoria
Sin variables aleatorias no podríamos calcular la probabilidad de obtener más de tres caras en diez lanzamientos, porque cara y cruz no son números.
Definiendo \(X \) como el número de caras, el suceso se escribe \(\{X > 3\} \) y ya podemos operar con él matemáticamente.
El experimento aleatorio y el espacio muestral
En esta sección veremos cómo convertir resultados no numéricos en números: al lanzar dos monedas, la variable \(X \) que cuenta el número de caras toma los valores \(0 \), \(1 \) y \(2 \), con recorrido \(X(\Omega) = \{0, 1, 2\} \)
Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no puede predecirse con certeza antes de realizarlo, como lanzar un dado o lanzar una moneda.
El espacio muestral, que denotaremos por \(\Omega \), es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento.
Por ejemplo, al lanzar un dado equilibrado el espacio muestral es \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \), y al lanzar una moneda dos veces el espacio muestral es $$\Omega = \{(\text{cara}, \text{cara}), (\text{cara}, \text{cruz}), (\text{cruz}, \text{cara}), (\text{cruz}, \text{cruz})\} $$
Cada resultado individual del experimento se denota por \(\omega \), de modo que \(\omega \in \Omega \) significa que \(\omega \) es uno de los resultados posibles.
Definición de variable aleatoria
Al lanzar una moneda dos veces, el espacio muestral es $$\Omega = \{(\text{cara}, \text{cara}), (\text{cara}, \text{cruz}), (\text{cruz}, \text{cara}), (\text{cruz}, \text{cruz})\} $$
Cada par ordenado indica el resultado de la primera y la segunda tirada.
Una variable aleatoria es una aplicación \(X: \Omega \rightarrow \mathbb{R} \) que asigna a cada resultado \(\omega \) del espacio muestral un número real \(X(\omega) \)
La variable aleatoria traduce los resultados del experimento, que pueden no ser numéricos, a números reales con los que podemos operar matemáticamente.
Por convenio, las variables aleatorias se denotan con letras mayúsculas: \(X \), \(Y \), \(Z \), mientras que los valores concretos que toman se denotan con las correspondientes letras minúsculas: \(x \), \(y \), \(z \)
Recorrido de la variable aleatoria
Sobre el lanzamiento de dos monedas definimos \(X \) como el número de caras: \(X(\text{cara}, \text{cara}) = 2 \), \(X(\text{cara}, \text{cruz}) = 1 \), \(X(\text{cruz}, \text{cara}) = 1 \) y \(X(\text{cruz}, \text{cruz}) = 0 \)
La aplicación \(X \) traduce cada resultado del experimento a un número real.
Se llama recorrido o imagen de la variable aleatoria al conjunto de valores reales que efectivamente toma al recorrer todos los resultados posibles, es decir, \(X(\Omega) \)
El recorrido puede ser un conjunto finito, como \(\{0, 1, 2\} \), un conjunto infinito numerable, como \(\{1, 2, 3, \dots\} \), o un intervalo continuo, como \([0, 1] \)
Esta distinción dará lugar a las variables aleatorias discretas y a las variables aleatorias continuas, que estudiaremos en las secciones 1.3 y 1.4.
Sucesos inducidos por la variable aleatoria
La variable número de caras en dos monedas tiene recorrido finito \(X(\Omega) = \{0, 1, 2\} \)
En cambio, la variable tiempo de espera hasta el próximo autobús, medido en minutos, tiene recorrido continuo \([0, 15] \) si el autobús pasa cada cuarto de hora.
La variable aleatoria nos permite expresar sucesos del experimento en términos numéricos.
Por ejemplo, el suceso \(\{X \leq x\} \) es el conjunto de resultados \(\omega \) tales que \(X(\omega) \leq x \)
De forma análoga se definen \(\{X = x\} \), \(\{X > x\} \) o \(\{a < X \leq b\} \)
Gracias a esta traducción podremos calcular probabilidades sobre la variable aleatoria, como \(P(X \leq x) \), que será la base de la función de distribución de la sección 1.2.
Por qué necesitamos las variables aleatorias
Con \(X \) igual al número de caras en dos monedas, el suceso salir al menos una cara se escribe $$\{X \geq 1\} = \{(\text{cara}, \text{cara}), (\text{cara}, \text{cruz}), (\text{cruz}, \text{cara})\} $$: la variable traduce el suceso a lenguaje numérico.
Muchos experimentos tienen resultados que no son numéricos: cara o cruz, colores, respuestas de tipo sí o no.
La variable aleatoria es el puente que convierte esos resultados en números, lo que nos permite aplicar todo el cálculo matemático: sumar, promediar, comparar valores y, sobre todo, asignar probabilidades a valores numéricos.
Sin variables aleatorias no podríamos hablar de la probabilidad de obtener más de tres caras ni del tiempo medio de espera: primero hay que numerar los resultados, y eso es exactamente lo que hace \(X \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir el espacio muestral del lanzamiento de dos monedas.
A continuación definiremos la variable aleatoria asignando a cada resultado su número de caras y determinaremos su recorrido.
Para terminar identificaremos los resultados que forman cada uno de los sucesos pedidos.
Construcción del espacio muestral.
El experimento consiste en lanzar dos monedas, cada una de las cuales puede dar cara o cruz.
El espacio muestral contiene los cuatro resultados posibles:
Como las monedas son equilibradas e independientes, cada uno de estos cuatro resultados tiene la misma probabilidad, \(\frac{1}{4} \)
Definición de la variable aleatoria y su recorrido.
Definimos \(X \) como el número de caras obtenidas en los dos lanzamientos.
La aplicación asigna a cada resultado:
El recorrido de la variable aleatoria es el conjunto de valores que efectivamente toma:
Observemos que la aplicación no es inyectiva: dos resultados distintos, cara cruz y cruz cara, dan el mismo valor \(1 \)
Esto es perfectamente válido en una variable aleatoria.
Identificación de los sucesos inducidos.
El suceso \(\{X = 1\} \) está formado por los resultados cuyo número de caras es uno:
El suceso \(\{X \geq 1\} \) está formado por los resultados con al menos una cara:
Así pues, hemos construido completamente la variable aleatoria: su espacio muestral, su aplicación, su recorrido y los sucesos que induce.
0.
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir el espacio muestral del lanzamiento del dado.
A continuación calcularemos el valor de la variable aleatoria en cada resultado y determinaremos su recorrido.
Para terminar identificaremos los resultados que verifican la condición del suceso pedido.
Espacio muestral y definición de la variable.
El espacio muestral del lanzamiento de un dado es \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
Definimos \(Y(\omega) = \omega^2 \), es decir, la variable aleatoria eleva al cuadrado la puntuación obtenida.
Cálculo de los valores y del recorrido.
Calculamos el valor de \(Y \) en cada resultado:
El recorrido de la variable aleatoria es por tanto:
Identificación del suceso pedido.
El suceso \(\{Y \leq 10\} \) está formado por los resultados cuyo cuadrado no supera diez:
ya que \(1^2 = 1 \leq 10 \), \(2^2 = 4 \leq 10 \), \(3^2 = 9 \leq 10 \), pero \(4^2 = 16 > 10 \)
Así pues, la variable aleatoria queda completamente determinada.
Para resolver este ejemplo empezaremos por interpretar el espacio muestral continuo del experimento.
A continuación determinaremos el recorrido de la variable aleatoria definida como la identidad.
Para terminar describiremos el suceso pedido y observaremos la diferencia con los ejemplos anteriores.
Interpretación del espacio muestral.
En este experimento el resultado puede ser cualquier instante entre cero y treinta minutos, de modo que el espacio muestral es el intervalo continuo \(\Omega = [0, 30] \)
Hay infinitos resultados posibles, no numerables uno a uno como en los ejemplos anteriores.
Recorrido de la variable aleatoria.
La variable aleatoria es la identidad: a cada tiempo de espera le asigna ese mismo tiempo.
Por tanto su recorrido es todo el intervalo:
A diferencia de los ejemplos 1 y 2, donde el recorrido era un conjunto finito de valores aislados, aquí el recorrido es un intervalo continuo.
Esta es la primera pista de la distinción entre variables aleatorias discretas y continuas, que desarrollaremos en las secciones 1.3 y 1.
4.
Descripción del suceso pedido.
El suceso \(\{X \leq 5\} \) está formado por todos los tiempos de espera que no superan los cinco minutos:
Así pues, incluso con un espacio muestral continuo, la variable aleatoria traduce el experimento a números y nos permite describir sucesos de interés en términos numéricos.