0.5 Diferencia de conjuntos
1. Definición de la diferencia de conjuntos. La diferencia de dos sucesos \(A\) y \(B\), denotada \(A \setminus B\) (o \(A - B\)), es el suceso que ocurre cuando se verifica \(A\) y no se verifica \(B\) : \(A \setminus B = \{x \in E : x \in A \land x \notin B\} = A \cap \bar{B}\) Ejemplo: En una baraja española, si \(O\) = «oros» (diez cartas) y \(F\) = «figuras» (doce cartas), entonces \(O \setminus F\) son los oros que no son figuras: las siete cartas de oros del 1 al 7. 2. Propiedades y diferencia simétrica. - \(A \setminus B = A \setminus (A \cap B)\) • Si \(A \cap B = \emptyset\), lo que implica que \(A \setminus B = A\) • Si \(B \subseteq A\), lo que implica que \(A \setminus B = A \cap \bar{B}\) • Diferencia simétrica \(A \Delta B\): Ocurre exactamente uno de los dos sucesos (ocurre \(A\) sin \(B\), o \(B\) sin \(A\)): \(A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cup B) \setminus (A \cap B)\) Ejemplo: Con \(A = \{1, 2, 3\}\) y \(B = \{3, 4\}\), la diferencia simétrica es \(A \Delta B = \{1, 2\} \cup \{4\} = \{1, 2, 4\}\): los elementos que están en exactamente uno de los dos conjuntos. Ejemplo 1: Diferencia en conjuntos finitos y no conmutatividad. Sean \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) y \(B = \{3, 4, 5, 6\}\) Calcula \(A \setminus B\) y \(B \setminus A\), e indica si la diferencia es conmutativa.
Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular \(A \setminus B\), quedándonos con los elementos de \(A\) que no están en \(B\). A continuación calcularemos \(B \setminus A\) de forma análoga. Para terminar compararemos ambos resultados y concluiremos si la diferencia es conmutativa.
Cálculo de A menos B.
Recorremos \(A\): el uno no está en \(B\); el dos no está en \(B\); el tres sí está; el cuatro sí está. Conservamos el uno y el dos:
Cálculo de B menos A.
Recorremos \(B\): el tres sí está en \(A\); el cuatro sí está; el cinco no está; el seis no está. Conservamos el cinco y el seis:
Comparación.
Hemos obtenido \(A \setminus B = \{1, 2\}\) y \(B \setminus A = \{5, 6\}\): son conjuntos distintos. Por tanto, la diferencia de conjuntos no es conmutativa:
\(A \setminus B = \{1, 2\}\) y \(B \setminus A = \{5, 6\}\); la diferencia no es conmutativa.
Con los conjuntos \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) y \(B = \{3, 4, 5, 6\}\) del ejemplo anterior, calcula la diferencia simétrica \(A \Delta B\)
Para calcular la diferencia simétrica empezaremos por recordar su definición: \(A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)\), es decir, ocurre exactamente uno de los dos sucesos. A continuación recuperaremos las diferencias calculadas en el ejemplo anterior. Para terminar las uniremos para obtener la diferencia simétrica.
Diferencias ya calculadas.
Del ejemplo anterior sabemos que \(A \setminus B = \{1, 2\}\) y que \(B \setminus A = \{5, 6\}\)
Unión de las diferencias.
Por definición, la diferencia simétrica es la unión de ambas diferencias: recoge los elementos que están en exactamente uno de los dos conjuntos (el uno y el dos solo están en A; el cinco y el seis solo están en B; el tres y el cuatro están en ambos y se excluyen):
\(A \Delta B = \{1, 2, 5, 6\}\): son los elementos que pertenecen a exactamente uno de los dos conjuntos.
Con \(E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), \(A = \{2, 4, 6\}\) y \(B = \{4, 5, 6\}\) (los mismos del ejemplo 1), comprueba numéricamente la identidad \(A \cap \bar{B} = A \setminus B\)
Para comprobar esta identidad calcularemos por separado cada miembro. Empezaremos por la izquierda: primero el complementario \(\bar{B}\) en \(E\) y después su intersección con \(A\). A continuación calcularemos la derecha, la diferencia \(A \setminus B\), ya obtenida en el ejemplo 1. Para terminar compararemos ambos resultados.
Cálculo del miembro izquierdo.
El complementario de \(B\) en \(E\) está formado por los elementos que no están en \(B\): el uno, el dos y el tres:
Su intersección con \(A\): el único elemento común a \(\{2, 4, 6\}\) y \(\{1, 2, 3\}\) es el dos:
Cálculo del miembro derecho.
Del ejemplo 1 sabemos que \(A \setminus B = \{2\}\)
Comparación de ambos miembros.
Ambos miembros valen \(\{2\}\): coinciden, luego la identidad queda comprobada numéricamente.
Se verifica \(A \cap \bar{B} = A \setminus B\): restar \(B\) equivale a intersecar con su complementario.
Con los conjuntos \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) y \(B = \{4, 5, 6, 7\}\) del ejemplo 1, comprobar que \(A\) se descompone como unión disjunta de su intersección con \(B\) y su diferencia con \(B\), es decir, que \(A = (A \cap B) \cup (A - B)\)
Para resolver este ejemplo empezaremos por recuperar la intersección y la diferencia de \(A\) con \(B\) calculadas en el ejemplo 1. A continuación uniremos ambas partes y comprobaremos que se recupera \(A\) Para terminar comprobaremos que la intersección y la diferencia no comparten ningún elemento, es decir, que la descomposición es disjunta.
Intersección y diferencia de A con B.
Del ejemplo 1 sabemos que \(A \cap B = \{4, 5\}\) y que \(A - B = \{1, 2, 3\}\)
Unión de ambas partes.
La descomposición es disjunta.
Ningún elemento puede estar a la vez en \(B\) y fuera de \(B\), por eso las dos partes no se solapan.
Todo conjunto \(A\) se parte en dos trozos disjuntos respecto de cualquier otro conjunto \(B\): la parte que comparte con \(B\) y la parte que no comparte. Esta descomposición es la base de muchas demostraciones con diferencias de conjuntos.
Para \(E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} ,\ \text{con}\ A = \{2, 4, 6\}\) ("número par") y \(B = \{4, 5, 6\}\) ("mayor que 3"), calcula la diferencia \(A \setminus B\)
Para calcular la diferencia empezaremos por recordar su definición: \(A \setminus B\) contiene los elementos de \(A\) que no pertenecen a \(B\), es decir, "ocurre \(A\) y no ocurre \(B\)". A continuación recorreremos los elementos de \(A\) y descartaremos los que estén en \(B\). Para terminar interpretaremos el resultado en lenguaje de sucesos y lo comprobaremos con la identidad \(A \setminus B = A \cap \bar{B}\)
Aplicación de la definición.
Por definición, \(A \setminus B = \{x \in E : x \in A \text{ y } x \notin B\}\) Recorremos los elementos de \(A = \{2, 4, 6\}\): el dos no está en \(B\), luego se conserva; el cuatro sí está en \(B\), luego se descarta; el seis sí está en \(B\), luego se descarta. Por tanto:
Interpretación y comprobación.
La diferencia \(A \setminus B\) es el suceso "obtener un número par que no sea mayor que 3", compuesto únicamente por el número dos. La comprobamos con la identidad \(A \setminus B = A \cap \bar{B}\): primero el complementario de \(B\) en \(E\), \(\bar{B} = \{1, 2, 3\}\), y después su intersección con \(A\), cuyo único elemento común es el dos. Coincide con el resultado anterior.
\(A \setminus B = \{2\}\): el único número par no mayor que 3 es el dos.