0.14 0.14 Teorema de la Probabilidad Total
Partición del espacio muestral
Se dice que una colección de sucesos \(\{A_1, A_2, \dots, A_n\} \) constituye una partición del espacio muestral \(E \) si:
• Son incompatibles dos a dos: $$A_i \cap A_j = \emptyset \quad \forall i \ne j $$
• Su unión recubre todo el espacio: \(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n = E \)
• Todos tienen probabilidad no nula: \(P(A_i) > 0 \)
En una urna con bolas de tres colores (rojas, azules y verdes), los sucesos «bola roja», «bola azul» y «bola verde» forman una partición: son incompatibles dos a dos y su unión es todo el espacio muestral.
Enunciado del teorema de la probabilidad total
Si \(\{A_1, A_2, \dots, A_n\} \) es una partición de \(E \), para cualquier suceso \(B \subset E \), su probabilidad se calcula sumando las probabilidades de las diferentes vías que lo producen:
Si el 70 % de los tornillos los hace la máquina M1 (con un 1 % de defectuosos) y el 30 % la máquina M2 (con un 4 %), la probabilidad total de defecto es $$0,7 \cdot 0,01 + 0,3 \cdot 0,04 = 0,007 + 0,012 = 0,019 $$
Demostración del teorema de la probabilidad total
La demostración usa solo la definición de partición, la propiedad distributiva, la aditividad finita y la regla de la multiplicación.
Como \(A \) es un suceso, \(A \subseteq \Omega \), luego $$A = A \cap \Omega = A \cap (B_1 \cup \cdots \cup B_n) $$
Por la propiedad distributiva de la sección 0.3, $$A = (A \cap B_1) \cup \cdots \cup (A \cap B_n) $$: todo resultado de \(A \) está en exactamente uno de los trozos.
Estas intersecciones son incompatibles dos a dos:
para \(i \neq j \), $$(A \cap B_i) \cap (A \cap B_j) = A \cap (B_i \cap B_j) = A \cap \emptyset = \emptyset $$, porque los \(B_i \) son incompatibles.
Por aditividad finita, $$P(A) = P(A \cap B_1) + \cdots + P(A \cap B_n) $$
Aplicando a cada término la regla de la multiplicación, \(P(A \cap B_i) = P(A|B_i) \cdot P(B_i) \), que está bien definida porque \(P(B_i) > 0 \) por hipótesis, se obtiene el enunciado.
Elegir al azar entre la urna \(1 \) y la urna \(2 \) define la partición \(B_1 = \text{elegir la urna 1} \), \(B_2 = \text{elegir la urna 2} \): son incompatibles (se elige una sola urna) y cubren todo el espacio, con \(P(B_1) = P(B_2) = \frac{1}{2} \)
Visualización con diagramas de árbol
El teorema se visualiza muy bien con un diagrama de árbol: la primera ramificación representa la partición, con ramas de probabilidad \(P(B_i) \), y la segunda ramificación representa las probabilidades condicionadas \(P(A|B_i) \)
La probabilidad total de \(A \) es la suma de los productos de probabilidades a lo largo de todas las ramas que terminan en \(A \)
Una fábrica produce piezas con tres máquinas: M1 fabrica el 50 % de las piezas, M2 el 30 % y M3 el 20 %.
El porcentaje de piezas defectuosas es del 2 % en M1, del 3 % en M2 y del 5 % en M3.
Halla la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa.
Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar la partición del espacio muestral formada por las tres máquinas.
A continuación escribiremos las probabilidades a priori y las verosimilitudes de defecto de cada máquina.
Para terminar aplicaremos el teorema de la probabilidad total con tres sumandos y realizaremos los cálculos vía a vía.
Partición y datos del problema.
Los sucesos \(M_1 \), \(M_2 \) y \(M_3 \), "la pieza procede de la máquina 1, 2 o 3", son incompatibles dos a dos y su unión es todo el espacio muestral, luego forman una partición.
Sea \(D \) el suceso "la pieza es defectuosa".
Los datos son:
Aplicación del teorema de la probabilidad total.
El teorema con tres elementos de la partición da:
Sustituyendo los valores:
La probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa es 0,029, es decir, un 2,9 %.
La urna 1 contiene 4 bolas rojas y 6 negras, y la urna 2 contiene 7 bolas rojas y 3 negras.
Se lanza una moneda equilibrada para elegir la urna y después se extrae una bola de la urna elegida.
Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea roja.
Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar la partición formada por la elección de cada urna, con sus probabilidades a priori dadas por la moneda equilibrada.
A continuación calcularemos las verosimilitudes de extraer bola roja en cada urna con la regla de Laplace.
Para terminar aplicaremos el teorema de la probabilidad total a las dos vías que producen una bola roja.
Partición y probabilidades a priori.
Sean \(U_1 \) el suceso "se elige la urna 1" y \(U_2 \) el suceso "se elige la urna 2".
Como la moneda es equilibrada:
Los sucesos \(U_1 \) y \(U_2 \) son incompatibles y cubren todas las posibilidades, luego forman una partición del espacio muestral.
Verosimilitudes en cada urna.
Sea \(R \) el suceso "la bola extraída es roja".
Por la regla de Laplace, en la urna 1 hay 4 rojas de 10 bolas y en la urna 2 hay 7 rojas de 10 bolas:
Aplicación del teorema de la probabilidad total.
La probabilidad de extraer una bola roja es 0,55, es decir, un 55 %.
En una empresa, el turno de mañana agrupa al 60 % del personal y tiene una tasa de ausencias del 5 %, mientras que el turno de tarde agrupa al 40 % del personal con una tasa de ausencias del 8 %.
Calcula la probabilidad de que un trabajador elegido al azar esté ausente.
Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar la partición formada por los dos turnos.
A continuación escribiremos las probabilidades a priori de cada turno y las verosimilitudes de ausencia condicionadas.
Para terminar aplicaremos el teorema de la probabilidad total sumando las dos vías que producen una ausencia.
Partición y datos.
Sean \(T_M \) el suceso "el trabajador es del turno de mañana" y \(T_T \) el suceso "el trabajador es del turno de tarde"; forman una partición porque cada trabajador pertenece a un solo turno.
Sea \(A \) el suceso "el trabajador está ausente".
Los datos son:
Aplicación del teorema de la probabilidad total.
La probabilidad de ausencia de un trabajador elegido al azar es 0,062, es decir, un 6,2 %.
Una fábrica tiene dos máquinas M1 y M2 que producen el 60 % y el 40 % de los artículos, con tasas de defecto del 2 % y del 5 % respectivamente.
Calcula la probabilidad de que un artículo elegido al azar sea defectuoso.
Para resolver este ejemplo empezaremos por comprobar que las dos máquinas forman una partición del espacio muestral, ya que cada artículo procede de una sola máquina.
A continuación identificaremos las probabilidades a priori de cada máquina y las verosimilitudes de defecto condicionadas a cada una.
Para terminar aplicaremos el teorema de la probabilidad total sumando las dos vías que producen un artículo defectuoso.
La partición del espacio muestral.
Sea \(M_1 \) el suceso "el artículo procede de la máquina 1" y \(M_2 \) el suceso "el artículo procede de la máquina 2".
Cada artículo es fabricado por una sola máquina, luego \(M_1 \cap M_2 = \emptyset \), y entre las dos cubren toda la producción: \(M_1 \cup M_2 = E \)
Por tanto, \(\{M_1, M_2\} \) es una partición del espacio muestral y se puede aplicar el teorema.
Probabilidades a priori y verosimilitudes.
Las proporciones de producción son las probabilidades a priori:
Sea \(D \) el suceso "el artículo es defectuoso".
Las tasas de defecto son las verosimilitudes:
Aplicación del teorema de la probabilidad total.
El teorema afirma que $$P(D) = P(M_1) \cdot P(D \mid M_1) + P(M_2) \cdot P(D \mid M_2) $$, es decir, la suma de las probabilidades de las dos vías que producen un defecto.
Sustituyendo:
La probabilidad de que un artículo elegido al azar sea defectuoso es 0,032, es decir, un 3,2 %.
Con las dos urnas del ejemplo anterior, el teorema descompone el suceso \(A = \text{extraer roja} \) según la urna elegida: $$P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) = \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{2} + \frac{6}{10} \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{20} $$