0.13 0.13 Probabilidad condicionada
Definición de probabilidad condicionada
Dados dos sucesos \(A \) y \(B ,\ \text{con}\ P(B) > 0 \), la probabilidad de \(A \) condicionada a \(B \) se define como \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
En esta sección veremos que saber que ha salido mayor que tres cambia la probabilidad de salir par: al lanzar un dado, $$P(\text{par} \mid \text{mayor que tres}) = \frac{2/6}{3/6} = \frac{2}{3} $$, distinta del \(\frac{1}{2} \) sin condicionar.
Interpretación intuitiva
La interpretación intuitiva es la siguiente:
si sabemos que ha ocurrido \(B \), el nuevo espacio muestral se reduce a \(B \), y la probabilidad de \(A \) en este espacio reducido es la parte de \(B \) que también está en \(A \), es decir, \(P(A \cap B) \), dividida entre todo \(B \), es decir, \(P(B) \)
De la definición se deduce una forma muy útil, la regla de la multiplicación: \(P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) \)
Al lanzar un dado, sean \(A = \text{salir par} \) y \(B = \text{salir mayor que tres} \)
Como \(P(A \cap B) = \frac{2}{6} \) y \(P(B) = \frac{3}{6} \), \(P(A|B) = \frac{2/6}{3/6} = \frac{2}{3} \)
Cálculo con tablas de contingencia
Una primera forma de calcular probabilidades condicionadas aparece en las tablas de contingencia.
En una tabla que clasifica a los individuos según dos criterios, \(P(A|B) \) se calcula dividiendo la frecuencia de la casilla correspondiente a \(A \cap B \) entre la frecuencia total de la fila o columna de \(B \), que es el nuevo espacio muestral.
Sabiendo que ha salido mayor que tres, el espacio muestral se reduce a \(\{4, 5, 6\} \)
Dentro de ese espacio reducido, los resultados pares son el \(4 \) y el \(6 \): dos de tres, luego la probabilidad condicionada es \(\frac{2}{3} \)
La independencia como caso particular
Cuando \(P(A|B) = P(A) \), saber que ha ocurrido \(B \) no cambia la probabilidad de \(A \): estamos ante la independencia estudiada en la sección 0.
7.
En efecto, sustituyendo la definición, la igualdad \(P(A|B) = P(A) \) equivale a \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(A) \), es decir, despejando, a \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \), que es exactamente la definición de sucesos independientes.
La probabilidad condicionada generaliza así la idea de independencia: mide cuánto modifica la información de \(B \) a la probabilidad de \(A \)
En un estudio con 200 personas se ha registrado si son fumadoras o no, y su sexo.
La tabla de contingencia es la siguiente.
Calcula la probabilidad de que una persona sea fumadora sabiendo que es mujer.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los sucesos y traducir la pregunta al lenguaje de la probabilidad condicionada.
A continuación reduciremos el espacio muestral a las mujeres, como indica la condición.
Para terminar calcularemos la probabilidad pedida.
Identificamos los sucesos.
Llamamos \(F \) al suceso ser fumadora o fumador, y \(M \) al suceso ser mujer.
La pregunta pide \(P(F|M) \)
Reducimos el espacio muestral a la condición.
Sabemos que la persona es mujer, así que solo miramos la fila de mujeres, que tiene un total de 100 personas.
De ellas, 30 son fumadoras.
Calculamos la probabilidad condicionada.
Observa que \(P(F) \), la probabilidad de ser fumador sin saber el sexo, es \(\frac{70}{200} = 0,35 \), distinta de \(P(F|M) \): la información de que es mujer ha cambiado la probabilidad.
De una urna con 4 bolas rojas y 6 bolas negras extraemos dos bolas sin reemplazamiento.
Calcula la probabilidad de que la segunda bola sea roja sabiendo que la primera ha sido roja.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los sucesos de la primera y la segunda extracción.
A continuación razonaremos cómo cambia la composición de la urna después de la primera extracción.
Para terminar aplicaremos la definición de probabilidad condicionada.
Identificamos los sucesos.
Llamamos \(R_1 \) al suceso la primera bola es roja, y \(R_2 \) al suceso la segunda bola es roja.
Nos piden \(P(R_2|R_1) \)
Actualizamos la urna con la información de la condición.
Si la primera bola ha sido roja, en la urna quedan 3 bolas rojas y 6 bolas negras, es decir, 9 bolas en total.
Calculamos la probabilidad condicionada sobre la urna actualizada.
Comprueba que esto coincide con la definición: $$P(R_1 \cap R_2) = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} $$ y \(P(R_1) = \frac{4}{10} \), luego \(\frac{P(R_1 \cap R_2)}{P(R_1)} = \frac{3}{9} \)
Lanzamos dos dados equilibrados.
Sabiendo que la suma es 7, calcula la probabilidad de que el primer dado haya mostrado un 3.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los sucesos y listar los resultados compatibles con la condición.
A continuación contaremos cuántos de esos resultados cumplen además lo que nos piden.
Para terminar aplicaremos la fórmula de la probabilidad condicionada.
Identificamos los sucesos.
Llamamos \(S \) al suceso la suma es 7, y \(T \) al suceso el primer dado muestra un 3.
Nos piden \(P(T|S) \)
Reducimos el espacio muestral a la condición.
Los pares con suma 7 son (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) y (6,1): 6 casos igualmente probables.
De ellos, solo (3,4) cumple que el primer dado muestre un 3.
Aplicamos la definición.
Como hay 36 pares equiprobables, \(P(T \cap S) = \frac{1}{36} \) y \(P(S) = \frac{6}{36} \), luego \(P(T|S) = \frac{1/36}{6/36} = \frac{1}{6} \)
En este caso la condición no ha cambiado la probabilidad del suceso, lo que nos lleva al caso particular de la independencia.
Dos sucesos \(A \) y \(B \) son independientes cuando saber que ha ocurrido \(B \) no cambia la probabilidad de \(A \), es decir, cuando \(P(A|B) = P(A) \)
Sustituyendo en la definición se obtiene la caracterización más usada: \(A \) y \(B \) son independientes si y solo si \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)
En el ejemplo de los dados, \(P(T) = \frac{1}{6} \) y hemos obtenido \(P(T|S) = \frac{1}{6} \), por lo que \(T \) y \(S \) son independientes.
la probabilidad condicionada \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \) mide cómo cambia la probabilidad de \(A \) cuando sabemos que ha ocurrido \(B \), y la independencia es el caso particular en el que esa información no cambia nada.
En un grupo de \(100 \) personas hay \(60 \) hombres y \(40 \) mujeres; fuman \(30 \) hombres y \(10 \) mujeres.
La probabilidad de que fume sabiendo que es hombre se calcula en la columna de los hombres: $$P(\text{fuma} \mid \text{hombre}) = \frac{30}{60} = 0,5 $$