4.2.4 4.7 Distribución binomial

📝 Ejemplo:

Sea $X $ el número de caras al lanzar diez veces una moneda equilibrada; entonces $X \sim B(10; 0,5) $

La probabilidad de obtener exactamente cuatro caras es $$P(X = 4) = \binom{10}{4} \cdot 0,5^4 \cdot 0,5^6 $$

Como $\binom{10}{4} = 210 $ y $0,5^{10} = \frac{1}{1024} $, resulta $P(X = 4) = \frac{210}{1024} \approx 0,2051 $

4.3.4 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Estudio completo de la distribución Binomial B(n, p), ensayos de Bernoulli, función de probabilidad, parámetros característicos y resolución de problemas.

▶ Ver Lección Interactiva

La distribución Binomial es el modelo probabilístico discreto más importante.

Modela el número de éxitos obtenidos al repetir un experimento aleatorio un número fijado $n $ de veces de manera independiente.

📝 Ejemplo:

Lanzar tres veces una moneda equilibrada y contar el número de caras es un proceso de Bernoulli con $n = 3 $ y $p = 0{,}5 $: la variable $X $, número de caras, sigue una $B(3; 0{,}5) $

Condiciones del proceso de Bernoulli

• El experimento consiste en $n $ pruebas o ensayos idénticos e independientes.

• Cada prueba admite únicamente dos resultados posibles y excluyentes: Éxito ($A $) o Fracaso ($\bar{A} $) .

• La probabilidad de éxito se mantiene constante en cada ensayo: $P(A) = p $

Por consiguiente, la de fracaso es $q = 1 - p $

• La variable aleatoria $X $ cuenta el número total de éxitos: $X \sim B(n, p) $, tomando valores en $\{0, 1, 2, \dots, n\} $

📝 Ejemplo:

Extraer con reemplazamiento cinco bolas de una urna con bolas rojas y blancas, anotando si sale roja, verifica las cuatro condiciones: ensayos idénticos, dos resultados, $p $ constante e independencia.

Sin reemplazamiento fallaría la independencia, y el modelo binomial no sería válido.

Función de probabilidad

La probabilidad de registrar exactamente $k $ éxitos viene dada por la fórmula:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} = \binom{n}{k} p^k q^{n - k} $$

donde $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!} $ representa el número combinatorio (formas de elegir las posiciones de los $k $ éxitos entre los $n $ intentos).

📝 Ejemplo:

Si $X \sim B(4; 0{,}5) $, la probabilidad de obtener exactamente dos caras en cuatro lanzamientos es $$P(X = 2) = \binom{4}{2} 0{,}5^2 0{,}5^2 = 6 \cdot 0{,}0625 = 0{,}375 $$

Parámetros característicos

• Esperanza matemática (media): $\mu = E[X] = n \cdot p $

• Varianza: $$\sigma^2 = \text{Var}(X) = n \cdot p \cdot q = n p (1 - p) $$

• Desviación típica: $\sigma = \sqrt{n p q} = \sqrt{n p (1 - p)} $

📝 Ejemplo: Concreto de Distribución Binomial:

$$ $$

Lanzamos 5 veces una moneda equilibrada ($n = 5 $, $p = 0,5 $, $q = 0,5 $).

Calculemos la probabilidad de obtener exactamente 3 caras ($X = 3 $):

$$P(X = 3) = \binom{5}{3} (0,5)^3 (0,5)^{5-3} = 10 \cdot (0,125) \cdot (0,25) = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} = 0,3125 \quad (31,25\%) $$

Parámetros: $\mu = n \cdot p = 5 \cdot 0,5 = 2,5 $ caras; $$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{5 \cdot 0,5 \cdot 0,5} = \sqrt{1,25} \approx 1,118 $$

📝 Ejemplo:

En $n = 100 $ lanzamientos de una moneda equilibrada, el número esperado de caras es $E(X) = 100 \cdot 0{,}5 = 50 $, con desviación típica $$\sigma = \sqrt{100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = 5 $$

📝 EJEMPLO: S CANÓNICOS DESARROLLADOS

📝 Ejemplo 1: Lanzamiento repetido de dados y cálculo combinatorio

Se lanza un dado equilibrado 6 veces.

Calcula la probabilidad de obtener exactamente 2 números mayores que

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por definir el suceso éxito y calcular su probabilidad en una tirada del dado.

A continuación comprobaremos que se cumplen las condiciones del proceso de Bernoulli e identificaremos el modelo binomial con sus parámetros.

Después escribiremos la función de probabilidad de la binomial para el caso pedido.

Para terminar sustituiremos los valores y calcularemos la probabilidad desarrollando el número combinatorio y las potencias.

👉 PASO 1

Definición del éxito y cálculo de su probabilidad.

Definimos como éxito el suceso obtener un número mayor que 4, es decir, sacar un 5 o un 6.

Como el dado es equilibrado, cada cara tiene probabilidad un sexto, luego la probabilidad de éxito en una tirada es:

$$p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$

La probabilidad de fracaso, es decir, de no obtener un número mayor que 4, es:

$$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $$

👉 PASO 2

Identificación del modelo binomial.

Se realizan $n = 6 $ lanzamientos independientes, cada uno con dos resultados posibles y probabilidad de éxito constante.

Se cumplen las cuatro condiciones del proceso de Bernoulli, luego si $X $ cuenta el número de éxitos entre los 6 lanzamientos:

$$X \sim B\left(6, \frac{1}{3}\right) $$

👉 PASO 3

Función de probabilidad para el caso pedido.

La función de probabilidad de la binomial es:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} q^{n-k} $$

Para $k = 2 $ éxitos:

$$P(X = 2) = \binom{6}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^{2} \left(\frac{2}{3}\right)^{4} $$

👉 PASO 4

Cálculo numérico del resultado.

Desarrollamos el número combinatorio:

$$\binom{6}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 $$

Calculamos las potencias:

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{2} = \frac{1}{9} $$

$$\left(\frac{2}{3}\right)^{4} = \frac{16}{81} $$

Multiplicando los tres factores:

$$P(X = 2) = 15 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{16}{81} = \frac{240}{729} = \frac{80}{243} \approx 0,3292 $$

✅ Conclusión

La probabilidad de obtener exactamente 2 números mayores que 4 en 6 lanzamientos es $\frac{80}{243} \approx 32,92\% $

📝 Ejemplo 2: Examen tipo test respondido al azar

Un estudiante responde al azar un examen tipo test de 10 preguntas con 4 opciones cada una.

Para aprobar debe acertar al menos 5 preguntas. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar?

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el modelo binomial con sus parámetros, ya que hay un número fijo de preguntas independientes con la misma probabilidad de acierto.

A continuación expresaremos la probabilidad de aprobar como la suma de las probabilidades puntuales desde 5 hasta 10 aciertos.

Después calcularemos cada término con la función de probabilidad de la binomial.

Para terminar sumaremos todos los términos para obtener la probabilidad total.

👉 PASO 1

Identificación del modelo.

Cada pregunta se acierta con probabilidad $p = \frac{1}{4} = 0,25 $ al responder al azar, y se falla con $q = 1 - 0,25 = 0,75 $

Con $n = 10 $ preguntas independientes, si $X $ es el número de aciertos:

$$X \sim B(10; 0,25) $$

👉 PASO 2

Planteamiento de la probabilidad de aprobar.

Aprobar significa acertar al menos 5 preguntas, luego:

$$P(X \geq 5) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) $$

👉 PASO 3

Cálculo de cada probabilidad puntual.

Aplicamos la fórmula $$P(X = k) = \binom{10}{k} 0,25^{k} 0,75^{10-k} $$ a cada valor:

$$P(X = 5) = \binom{10}{5} 0,25^{5} 0,75^{5} = 252 \cdot 0,0009766 \cdot 0,23730 \approx 0,05839 $$

$$P(X = 6) = \binom{10}{6} 0,25^{6} 0,75^{4} = 210 \cdot 0,0002441 \cdot 0,31641 \approx 0,01622 $$

$$P(X = 7) = \binom{10}{7} 0,25^{7} 0,75^{3} = 120 \cdot 0,0000610 \cdot 0,42188 \approx 0,00309 $$

$$P(X = 8) = \binom{10}{8} 0,25^{8} 0,75^{2} = 45 \cdot 0,0000153 \cdot 0,56250 \approx 0,00039 $$

$$P(X = 9) = \binom{10}{9} 0,25^{9} 0,75^{1} = 10 \cdot 0,0000038 \cdot 0,75 \approx 0,00003 $$

El término $P(X = 10) $ es despreciable frente a los anteriores, del orden de una millonésima.

👉 PASO 4

Suma de las probabilidades.

$$P(X \geq 5) = 0,05839 + 0,01622 + 0,00309 + 0,00039 + 0,00003 = 0,07812 $$

✅ Conclusión

La probabilidad de aprobar respondiendo al azar es $0,07812 \approx 7,81\% $

📝 Ejemplo 3: Eficacia de un tratamiento médico

Un tratamiento médico cura al 70 por ciento de los pacientes.

Si se administra a 4 enfermos, calcula la probabilidad de que al menos uno se cure.

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el modelo binomial con sus parámetros, ya que hay un número fijo de pacientes independientes con la misma probabilidad de curación.

A continuación observaremos que calcular directamente la probabilidad de al menos uno exigiría sumar cuatro términos, por lo que usaremos el suceso contrario.

Después calcularemos la probabilidad de que no se cure ninguno con la función de probabilidad de la binomial.

Para terminar restaremos de uno para obtener la probabilidad pedida.

👉 PASO 1

Identificación del modelo.

Sea $X $ el número de pacientes curados entre los

Cada paciente se cura con probabilidad $p = 0,7 $ y no se cura con $q = 1 - 0,7 = 0,3 $, de forma independiente.

Por tanto:

$$X \sim B(4; 0,7) $$

👉 PASO 2

Uso del suceso contrario.

Nos piden $P(X \geq 1) $

Por la regla del suceso complementario:

$$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) $$

Es mucho más sencillo calcular la probabilidad de que no se cure ninguno que sumar las probabilidades de que se curen uno, dos, tres o cuatro.

👉 PASO 3

Cálculo de la probabilidad de que no se cure ninguno.

$$P(X = 0) = \binom{4}{0} 0,7^{0} 0,3^{4} = 1 \cdot 1 \cdot 0,0081 = 0,0081 $$

👉 PASO 4

Obtención del resultado.

$$P(X \geq 1) = 1 - 0,0081 = 0,9919 $$

✅ Conclusión

La probabilidad de que al menos uno de los cuatro enfermos se cure es del $99,19\% $

← 4.3.3 Desigualdad de Chebycheff

Índice de Matemáticas II

4.3.5 Distribución Gaussiana o Normal →

📝 Ejemplo 4: Control de calidad en un lote de producción y probabilidad acumulada

En una línea de fabricación de microchips, la probabilidad de que un chip sea defectuoso es $p = 0,05 $ ($5\% $).

Se extrae al azar una muestra de $n = 10 $ chips para una inspección de calidad.

Calcula la probabilidad de que en la muestra se encuentren a lo sumo 2 chips defectuosos ($P(X \le 2) $).

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio identificaremos la variable aleatoria con una distribución binomial.

Como se solicita la probabilidad acumulada de obtener como máximo 2 defectuosos, calcularemos individualmente las probabilidades de tener exactamente 0, 1 y 2 defectuosos mediante la función de masa de probabilidad binomial y las sumaremos.

👉 PASO 1

Modelo binomial y parámetros.

Cada chip es un ensayo de Bernoulli independiente con dos posibles resultados: defectuoso ($p = 0,05 $) o correcto ($q = 1 - p = 0,95 $).

El número de ensayos es $n = 10 $

La variable $X $ = "número de chips defectuosos en la muestra" sigue una distribución binomial:

$$X \sim B(10; 0,05) $$

👉 PASO 2

Fórmula de probabilidad binomial.

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} = \binom{10}{k} (0,05)^k (0,95)^{10-k} $$

👉 PASO 3

Cálculo de las probabilidades puntuales.

Para $k = 0 $:

$$P(X = 0) = \binom{10}{0} (0,05)^0 (0,95)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot (0,95)^{10} \approx 0,598737 $$

Para $k = 1 $:

$$P(X = 1) = \binom{10}{1} (0,05)^1 (0,95)^9 = 10 \cdot 0,05 \cdot (0,95)^9 = 0,5 \cdot (0,95)^9 \approx 0,315125 $$

Para $k = 2 $:

$$P(X = 2) = \binom{10}{2} (0,05)^2 (0,95)^8 = \frac{10 \cdot 9}{2} \cdot (0,0025) \cdot (0,95)^8 = 45 \cdot (0,0025) \cdot 0,663420 \approx 0,074635 $$

👉 PASO 4

Suma para la probabilidad acumulada.

$$P(X \le 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) $$

$$P(X \le 2) = 0,598737 + 0,315125 + 0,074635 = 0,988497 \approx 0,9885 = 98,85\% $$

✅ Conclusión

La probabilidad de encontrar a lo sumo 2 chips defectuosos en el lote de 10 es del $98,85\% $ ($P(X \le 2) \approx 0,9885 $).

📝 Ejemplo 5: Probabilidad condicionada en ensayos repetidos de Bernoulli

Un tirador de élite tiene una probabilidad de acertar en el blanco de $p = 0,80 $ ($80\% $) en cada disparo.

Realiza una serie de $n = 5 $ disparos independientes.

Sabiendo que ha acertado al menos 3 disparos, calcula la probabilidad de que haya hecho pleno acertando los 5 disparos.

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio aplicaremos la definición de probabilidad condicionada P(A|B) = P(A y B)/P(B).

Identificaremos la variable mediante una distribución binomial B(5; 0,80), calcularemos la probabilidad del suceso condicionante (al menos 3 aciertos) y dividiremos la probabilidad del pleno (5 aciertos) entre dicha probabilidad.

👉 PASO 1

Modelo binomial y sucesos.

Sea $X $ = "número de aciertos en 5 disparos".

$$X \sim B(5; 0,80) $$

Éxito: $p = 0,80 $. Fracaso: $q = 0,20 $

Queremos calcular:

$$P(X = 5 \mid X \ge 3) = \frac{P(X = 5 \cap X \ge 3)}{P(X \ge 3)} = \frac{P(X = 5)}{P(X \ge 3)} $$

👉 PASO 2

Probabilidad de acertar los 5 disparos (numerador).

$$P(X = 5) = \binom{5}{5} (0,80)^5 (0,20)^0 = 1 \cdot (0,80)^5 = 0,32768 $$

👉 PASO 3

Probabilidad del suceso condicionante (denominador).

$$P(X \ge 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) $$

Calculamos $P(X = 3) $:

$$P(X = 3) = \binom{5}{3} (0,80)^3 (0,20)^2 = 10 \cdot 0,512 \cdot 0,04 = 0,2048 $$

Calculamos $P(X = 4) $:

$$P(X = 4) = \binom{5}{4} (0,80)^4 (0,20)^1 = 5 \cdot 0,4096 \cdot 0,20 = 0,4096 $$

Sumamos los tres términos:

$$P(X \ge 3) = 0,2048 + 0,4096 + 0,32768 = 0,94208 $$

👉 PASO 4

Cálculo de la probabilidad condicionada.

$$P(X = 5 \mid X \ge 3) = \frac{0,32768}{0,94208} = \frac{32768}{94208} = \frac{8}{23} \approx 0,347826 = 34,78\% $$

✅ Conclusión

Sabiendo que el tirador acertó al menos 3 disparos, la probabilidad de que haya acertado los 5 es de $\frac{8}{23} \approx 34,78\% $