4.2.3 4.6 Desigualdad de Chebychev
Una variable \(X \) tiene media \(\mu = 100 \) y desviación típica \(\sigma = 10 \)
La desigualdad de Chebycheff garantiza que la probabilidad de que \(X \) se aparte de su media menos de \(20 \) es, como mínimo, $$1 - \frac{10^2}{20^2} = 1 - \frac{1}{4} = 0,75 $$
4.3.3 DESIGUALDAD DE CHEBYCHEFF
Estudio de la desigualdad de Chebycheff, acotación universal de probabilidades en torno a la media y estimación de intervalos de dispersión sin conocer la ley de distribución.
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La Desigualdad de Chebycheff (o Bienaymé-Chebyshev) es un teorema fundamental del cálculo de probabilidades que proporciona una cota superior o inferior universal para la probabilidad de que una variable aleatoria se desvíe de su media, sin importar la forma de la función de distribución (discreta o continua), conociendo únicamente su esperanza \(\mu \) y su varianza \(\sigma^2 \)
Si las notas de un examen tienen media \(60 \) y desviación típica \(10 \), la desigualdad de Chebycheff garantiza que al menos el \(75\% \) de las notas está entre \(40 \) y \(80 \), sin saber nada más sobre su distribución.
Enunciado del teorema
Sea \(X \) una variable aleatoria cualquiera con media \(\mu = E[X] \) y desviación típica finita \(\sigma > 0 \)
Para cualquier número real \(k > 0 \) (o distancia \(\epsilon = k\sigma > 0 \)):
Una máquina produce tornillos con longitud media \(\mu = 50 \) milímetros y desviación típica \(\sigma = 2 \) milímetros.
La desigualdad afirma que $$P(|X - 50| \ge 6) \le \frac{1}{9} \approx 0{,}1111 $$, pues \(6 = 3\sigma \)
Forma complementaria
Considerando el suceso contrario, la probabilidad de que la variable caiga dentro de una vecindad de \(k \) desviaciones típicas alrededor de la media está acotada inferiormente por:
INTERPRETACIÓN DE COTAS SEGÚN EL VALOR DE \(K \)
• Para \(k = 2 \): Al menos el \(75\% \) de los valores están a menos de \(2\sigma \) de la media:
• Para \(k = 3 \): Al menos el \(88,89\% \) de los valores se concentran a menos de \(3\sigma \) de la media:
• Para \(k = 4 \): Al menos el \(93,75\% \) de la masa probabilística está en el intervalo \((\mu - 4\sigma, \mu + 4\sigma) \)
Aunque la cota suele ser conservadora (pesimista) respecto a distribuciones simétricas como la normal, su poder radica en su carácter estrictamente no paramétrico y universal .
$$ $$
Una variable aleatoria \(X \) tiene media \(\mu = 50 \) y desviación típica \(\sigma = 5 \), sin conocer la forma de su distribución.
Para \(k = 2 \), acotamos la probabilidad de que \(X \) caiga dentro del intervalo \((\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma) = (40, 60) \):
Garantizamos con rigor universal que al menos el \(75\% \) de las observaciones están a menos de dos desviaciones típicas de la media.
Con los datos del ejemplo anterior, la forma complementaria garantiza que $$P(44 < X < 56) \ge 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \approx 0{,}8889 $$
Al menos el \(88{,}89\% \) de los tornillos mide entre \(44 \) y \(56 \) milímetros.
Una fábrica produce piezas metálicas cuya longitud media es de 20 centímetros con una varianza de 0,25 centímetros cuadrados.
Sin conocer el tipo de distribución de la longitud, ¿qué porcentaje mínimo de piezas medirá entre 18,5 centímetros y 21,5 centímetros?
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la media y la desviación típica de la variable a partir de los datos del enunciado, ya que la desigualdad de Chebycheff solo necesita estos dos parámetros.
A continuación expresaremos el intervalo pedido en forma de distancia a la media, restando la media en los tres miembros de la desigualdad.
Después calcularemos cuántas desviaciones típicas abarca ese intervalo, es decir, el valor de la constante ka.
Para terminar aplicaremos la forma complementaria de la desigualdad de Chebycheff para obtener la cota inferior de la probabilidad pedida.
Identificación de los parámetros.
Sea \(X \) la longitud de una pieza elegida al azar.
Los datos del enunciado nos dan la media \(\mu = 20 \) centímetros y la varianza \(\sigma^2 = 0,25 \) centímetros cuadrados.
La desviación típica se obtiene como la raíz cuadrada de la varianza:
centímetros.
No conocemos la forma de la distribución de \(X \), pero la desigualdad de Chebycheff es un teorema universal válido para cualquier variable aleatoria con varianza finita, de modo que podemos aplicarla conociendo únicamente estos dos parámetros.
Expresión del intervalo como distancia a la media.
La probabilidad pedida es \(P(18,5 < X < 21,5) \)
Para llevarla a la forma que exige el teorema, restamos la media \(\mu = 20 \) en los tres miembros de la desigualdad:
Esta doble desigualdad expresa que la distancia de \(X \) a la media es menor que 1,5 centímetros, es decir:
Cálculo del número de desviaciones típicas.
La desigualdad de Chebycheff mide las distancias en unidades de desviación típica, así que escribimos la amplitud como \(1,5 = k \cdot \sigma \)
Sustituyendo \(\sigma = 0,5 \):
El intervalo pedido se extiende tres desviaciones típicas a cada lado de la media.
Aplicación de la desigualdad de Chebycheff.
La forma complementaria del teorema afirma que la probabilidad de caer dentro de ka desviaciones típicas de la media está acotada inferiormente:
Sustituyendo \(k = 3 \):
Se garantiza, sin conocer la distribución de la longitud, que como mínimo el \(88,89\% \) de las piezas medirá entre 18,5 y 21,5 centímetros.
El rendimiento medio de un fondo de inversión es del 8 por ciento con una desviación típica del 3 por ciento.
Sin conocer la distribución del rendimiento, acota la probabilidad de que el rendimiento se desvíe de la media en 6 puntos porcentuales o más.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la media y la desviación típica del rendimiento a partir del enunciado.
A continuación expresaremos el suceso pedido en forma de distancia a la media mayor o igual que cierta cantidad.
Después calcularemos el valor de ka que corresponde a esa distancia en unidades de desviación típica.
Para terminar aplicaremos la desigualdad de Chebycheff en su forma directa, que acota superiormente la probabilidad de las colas.
Identificación de los parámetros.
Sea \(X \) el rendimiento del fondo.
La media es \(\mu = 8 \) por ciento y la desviación típica es \(\sigma = 3 \) por ciento.
Como en el ejemplo anterior, no conocemos la distribución, pero el teorema es universal.
Expresión del suceso pedido.
Queremos acotar \(P(|X - 8| \geq 6) \), es decir, la probabilidad de que el rendimiento se desvíe de la media en 6 puntos o más.
Esto corresponde a rendimientos inferiores al 2 por ciento o superiores al 14 por ciento.
Cálculo del número de desviaciones típicas.
Escribimos la distancia como \(6 = k \cdot \sigma \)
Con \(\sigma = 3 \):
Aplicación de la desigualdad de Chebycheff.
La forma directa del teorema acota superiormente la probabilidad de las colas:
Con \(k = 2 \):
La probabilidad de sufrir una desviación igual o superior a 6 puntos porcentuales es como máximo del \(25\% \)
¿Cuántas desviaciones típicas alrededor de la media debemos considerar como mínimo para asegurar que al menos el 99 por ciento de la distribución quede encerrada en dicho intervalo, sea cual sea la distribución?
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear la condición de concentración usando la forma complementaria de la desigualdad de Chebycheff.
A continuación igualaremos la cota inferior al 99 por ciento exigido.
Después despejaremos la constante ka de la ecuación resultante invirtiendo ambos miembros.
Para terminar interpretaremos el resultado como el número de desviaciones típicas que debe abarcar el intervalo.
Planteamiento de la condición.
La forma complementaria de la desigualdad garantiza que la probabilidad de concentración alrededor de la media está acotada inferiormente por:
Queremos que esta cota inferior sea al menos \(0,99 \), luego planteamos la igualdad:
Despeje de la constante ka.
Despejamos el término que contiene a ka pasando el uno al otro miembro:
Invirtiendo ambos miembros de la igualdad:
Tomamos la raíz positiva porque ka representa un número de desviaciones típicas, que es una cantidad positiva.
Debemos abarcar un intervalo de \(\mu \pm 10\sigma \) alrededor de la media para asegurar, con validez universal para cualquier distribución, que contiene al menos el \(99\% \) de la probabilidad.
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Índice de Matemáticas II
4.3.4 Distribución Binomial →
El tiempo de espera en minutos de los usuarios en una centralita telefónica es una variable aleatoria con media \(\mu = 10 \text{ min} \) y desviación típica \(\sigma = 2 \text{ min} \), cuya distribución probabilística exacta se desconoce por completo.
Utilizando la desigualdad de Chebyshev, acota inferiormente la probabilidad de que un usuario espere entre \(4 \) y \(16 \) minutos.
Para resolver este ejercicio identificaremos el intervalo dado como un entorno simétrico alrededor de la media.
Calcularemos el número k de desviaciones típicas que abarca la semiamplitud del intervalo y aplicaremos la desigualdad de Chebyshev en su forma de cota inferior para garantizar una probabilidad mínima sin importar la forma de la distribución.
Identificación de los parámetros del intervalo.
Media: \(\mu = 10 \)
Desviación típica: \(\sigma = 2 \)
Intervalo objetivo: \((4, 16) \)
El intervalo es simétrico respecto de la media:
La distancia máxima a la media es \(\epsilon = 6 \text{ minutos} \)
Cálculo del número k de desviaciones típicas.
El intervalo abarca exactamente 3 desviaciones típicas a cada lado de la media.
Aplicación de la desigualdad de Chebyshev.
La desigualdad de Chebyshev establece que para cualquier variable aleatoria con varianza finita y para cualquier \(k > 1 \):
Sustituyendo \(k = 3 \):
Evaluando numéricamente:
La probabilidad de que un usuario seleccionado al azar espere entre 4 y 16 minutos es de al menos el \(88,89\% \) (\(P \ge \frac{8}{9} \)), con independencia de la forma analítica de la distribución.
Sea \(\overline{X}_n \) la media muestral de \(n \) variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con varianza común \(\sigma^2 = 4 \) y media poblacional desconocida \(\mu \)
¿Cuál es el número mínimo \(n \) de observaciones necesarias para garantizar que la probabilidad de que la media muestral difiera de la media verdadera en menos de \(0,5 \) sea de al menos el \(95\% \)?
Para resolver este ejercicio aplicaremos la desigualdad de Chebyshev a la variable media muestral, cuya varianza se reduce proporcionalmente a 1/n.
Impondremos que la cota inferior de Chebyshev sea mayor o igual que el nivel de confianza del 95% para despejar el tamaño muestral mínimo.
Propiedades de la media muestral.
Por las propiedades de las variables independientes e idénticamente distribuidas:
Desigualdad de Chebyshev para la media muestral.
Para cualquier error admisible \(\epsilon > 0 \):
Sustituyendo \(\epsilon = 0,5 \) y \(\text{Var}(\overline{X}_n) = \frac{4}{n} \):
Imposición de la condición de confianza del 95%.
Exigimos que la cota sea mayor o igual a \(0,95 \):
Despejamos \(n \):
Se necesitan al menos \(n = 320 \) observaciones para garantizar con una certeza mínima del 95% que la media muestral no difiera de la media poblacional en más de 0,5 unidades.