4.2.1 4.4 Distribuciones de probabilidad discretas
1. Variable aleatoria discreta y función de probabilidad Una variable aleatoria discreta \(X\) toma un número finito o infinito numerable de valores \(x_1, x_2, \dots\), cada uno con una probabilidad \(p_i = P(X = x_i)\) La función de probabilidad debe verificar dos condiciones: \(p_i \ge 0\) para todo \(i\) y \(\sum_i p_i = 1\) Ejemplo: Sea \(X\) el número de caras al lanzar dos monedas: toma los valores \(0, 1, 2\) con probabilidades \(P(X = 0) = \frac{1}{4}\), \(P(X = 1) = \frac{1}{2}\) y \(P(X = 2) = \frac{1}{4}\) Como cada probabilidad es no negativa y \(\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1\), es una función de probabilidad válida. 2. Función de distribución La función de distribución \(F(x) = P(X \le x)\) acumula las probabilidades hasta el valor \(x\): \(F(x) = \sum_{x_i \le x} p_i\) Es una función escalonada, no decreciente, con \(F(x) \to 0\) por la izquierda y \(F(x) \to 1\) por la derecha. Ejemplo: Para la variable del número de caras en dos lanzamientos, \(F(1) = P(X \le 1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}\) La función salta en cada valor posible: en \(x = 0\) sube \(\frac{1}{4}\), en \(x = 1\) sube \(\frac{1}{2}\) y en \(x = 2\) sube \(\frac{1}{4}\) hasta llegar a uno. 3. Esperanza y varianza La esperanza o media \(\mu = E(X)\) es el valor medio teórico: \(E(X) = \sum_i x_i \cdot p_i\) La varianza mide la dispersión respecto de la media: \(\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \sum_i x_i^2 \cdot p_i - \mu^2\) La desviación típica es \(\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}\) Ejemplo: El número de caras en dos lanzamientos tiene esperanza \(E(X) = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 1\): en promedio sale una cara. Su varianza es \(Var(X) = E(X^2) - 1^2 = \left(0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{4}\right) - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}\) Ejemplo 1: Función de probabilidad del dado Sea \(X\) la puntuación al lanzar un dado. Escribe su función de probabilidad y comprueba que es válida.
Para resolver este ejemplo empezaremos por listar los valores de la variable. A continuación asignaremos sus probabilidades. Para terminar comprobaremos las dos condiciones.
Valores y probabilidades.
\(X\) toma los valores \(1, 2, 3, 4, 5, 6\), cada uno con probabilidad:
Comprobación.
Cada \(p_i = \frac{1}{6} \ge 0\) y:
La función de probabilidad es válida.
Para la variable del ejemplo anterior calcula \(F(3,5)\) y \(P(2 < X \le 4)\)
Para resolver este ejemplo empezaremos por acumular las probabilidades hasta \(3,5\) A continuación usaremos la función de distribución para el intervalo.
Cálculo de F en 3,5.
Probabilidad del intervalo.
\(F(3,5) = \frac{1}{2}\) y la probabilidad del intervalo es \(\frac{1}{3}\)
Sea \(X\) una variable que toma los valores \(0, 1, 2, 3\) con probabilidades \(0,1\), \(0,3\), \(0,4\) y \(0,2\) respectivamente. Calcula \(E(X)\) y \(\text{Var}(X)\)
Para resolver este ejemplo empezaremos por comprobar que las probabilidades suman uno. A continuación calcularemos la esperanza. Para terminar calcularemos la varianza con la fórmula abreviada.
Comprobación.
Esperanza.
Varianza.
\(E(X) = 1,7\), \(\text{Var}(X) = 0,81\) y \(\sigma = 0,9\)
Calcula la media y la varianza de la puntuación de un dado.
Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular la esperanza. A continuación calcularemos \(E(X^2)\) Para terminar aplicaremos la fórmula de la varianza.
Esperanza.
Esperanza del cuadrado.
Varianza.
\(E(X) = 3,5\) y \(\text{Var}(X) = \frac{35}{12}\), aproximadamente \(2,917\)
Una variable \(X\) toma los valores \(1, 2, 3, 4\) con probabilidades \(k\), \(2k\), \(3k\) y \(4k\) Halla \(k\) y calcula \(E(X)\)
Para resolver este ejemplo empezaremos por imponer que la suma de probabilidades sea uno. A continuación despejaremos \(k\) Para terminar calcularemos la esperanza.
Suma de probabilidades.
Valor de k.
Esperanza.
\(k = 0,1\) y \(E(X) = 3\)