4.1.9 Sucesos compatibles e incompatibles
DEFINICIÓN Y DISTINCIÓN CLAVE
- Sucesos incompatibles (mutuamente excluyentes): No pueden ocurrir simultáneamente.
Su intersección es vacía:
- Sucesos compatibles: Pueden ocurrir a la vez en una misma realización del experimento:
¡ALERTA CONCEPTUAL!
Incompatibilidad \(\ne \) Independencia:
Si dos sucesos no imposibles (\(P(A)>0, P(B)>0 \)) son incompatibles (\(P(A \cap B) = 0 \)), entonces nunca son independientes , ya que \(P(A) \cdot P(B) > 0 \ne P(A \cap B) \)
En un dado, «sacar un 1» y «sacar un 6» son incompatibles (no pueden ocurrir a la vez), mientras que «sacar par» y «sacar mayor que 3» son compatibles: comparten el 4 y el 6, luego \(P(A \cap B) > 0 \)
En el lanzamiento de un dado equilibrado de 6 caras: 1) Estudia si los sucesos \(A = \{1, 2\} \) y \(B = \{5, 6\} \) son compatibles o incompatibles.
2) Estudia si los sucesos \(A = \{2, 4, 6\} \) (número par) y \(C = \{1, 2, 3\} \) (número menor que 4) son compatibles o incompatibles.
Para resolver este ejemplo empezaremos por recordar que dos sucesos son incompatibles cuando su intersección es el conjunto vacío y compatibles cuando comparten al menos un resultado elemental.
A continuación calcularemos la intersección de cada pareja de sucesos para decidir en qué caso estamos.
Para terminar obtendremos la probabilidad de cada intersección con la regla de Laplace.
Los sucesos \(A = \{1, 2\} \) y \(B = \{5, 6\} \) son incompatibles.
Los resultados 1 y 2 no coinciden con ninguno de los resultados 5 y 6, de modo que no existe ningún resultado elemental común a ambos sucesos:
Como la intersección es vacía, los sucesos no pueden ocurrir simultáneamente: son incompatibles, y por tanto su probabilidad conjunta es nula:
Los sucesos \(A = \{2, 4, 6\} \) y \(C = \{1, 2, 3\} \) son compatibles.
El resultado 2 pertenece tanto al suceso "número par" como al suceso "número menor que 4", luego la intersección no es vacía:
Como comparten el resultado 2, ambos sucesos pueden ocurrir a la vez en una misma realización del experimento: son compatibles, y por la regla de Laplace su intersección tiene probabilidad
que es mayor que cero, como exige la definición de sucesos compatibles.
Los sucesos \(A = \{1, 2\} \) y \(B = \{5, 6\} \) son incompatibles, mientras que los sucesos \(A = \{2, 4, 6\} \) y \(C = \{1, 2, 3\} \) son compatibles.
EJEMPLOS RESUELTOS
Dos sucesos incompatibles con probabilidad positiva nunca son independientes:
si \(A \cap B = \emptyset \), entonces \(P(A \cap B) = 0 \ne P(A) \cdot P(B) > 0 \)
Al lanzar un dado equilibrado de 6 caras, considera los sucesos \(A \), "sacar un número menor que 3", y \(B \), "sacar un número mayor que 4".
Determina si son compatibles o incompatibles.
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir cada suceso como conjunto de resultados elementales.
A continuación calcularemos su intersección para ver si comparten algún resultado.
Para terminar aplicaremos la definición de incompatibilidad y obtendremos la probabilidad de la intersección.
Escritura de los sucesos como conjuntos.
El suceso "sacar un número menor que 3" está formado por los resultados 1 y 2, luego \(A = \{1, 2\} \)
El suceso "sacar un número mayor que 4" está formado por los resultados 5 y 6, luego \(B = \{5, 6\} \)
Cálculo de la intersección y conclusión.
Ningún resultado pertenece a la vez a ambos conjuntos, por lo que la intersección es el conjunto vacío:
Al no poder ocurrir simultáneamente, los sucesos \(A \) y \(B \) son incompatibles, y en consecuencia su probabilidad conjunta es nula:
Los sucesos son incompatibles.
Al extraer una carta de una baraja española de 40 cartas, considera los sucesos \(A \), "sacar una copa", y \(B \), "sacar un as".
Determina si son compatibles o incompatibles.
Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar qué cartas pertenecen a cada suceso.
A continuación calcularemos la intersección de ambos sucesos buscando las cartas comunes a los dos.
Para terminar aplicaremos la definición de compatibilidad y calcularemos la probabilidad de la intersección con la regla de Laplace.
Identificación de las cartas de cada suceso.
El suceso \(A \) está formado por las 10 copas de la baraja y el suceso \(B \) por los 4 ases.
La carta "as de copas" es a la vez una copa y un as, luego pertenece a los dos sucesos.
Intersección de los sucesos y compatibilidad.
La intersección contiene exactamente esa carta común:
Como la intersección no es vacía, ambos sucesos pueden ocurrir a la vez: son compatibles.
Por la regla de Laplace, con 40 cartas equiprobables:
que es mayor que cero, como exige la definición de sucesos compatibles.
Los sucesos son compatibles, con probabilidad de intersección igual a 1/
4
0.
Sean dos sucesos A y B con P(A) = 0,3 y P(B) = 0,4, que además son incompatibles.
Determina si A y B son independientes.
Para resolver este ejemplo empezaremos por obtener la probabilidad de la intersección a partir de la hipótesis de incompatibilidad.
A continuación recordaremos la caracterización de la independencia mediante el producto de las probabilidades marginales.
Para terminar compararemos ambos valores y extraeremos la conclusión sobre la dependencia.
Probabilidad de la intersección por incompatibilidad.
Si dos sucesos son incompatibles, su intersección es vacía y por tanto su probabilidad es cero:
Producto de las probabilidades marginales.
Dos sucesos no imposibles son independientes si y solo si la probabilidad de su intersección coincide con el producto de sus probabilidades.
Calculamos dicho producto:
Comparación y conclusión.
La probabilidad de la intersección es \(P(A \cap B) = 0 \), mientras que el producto de las marginales es \(P(A) \cdot P(B) = 0,12 \)
Como \(0 \ne 0,12 \), se tiene que \(P(A \cap B) \ne P(A) \cdot P(B) \), de modo que los sucesos no verifican la condición de independencia: son dependientes.
Queda así ilustrada la alerta conceptual de la sección: incompatibilidad no es lo mismo que independencia; de hecho, dos sucesos no imposibles incompatibles nunca son independientes.
A y B no son independientes, sino dependientes.
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Sean \(A \) y \(B \) dos sucesos de un mismo espacio muestral con probabilidades \(P(A) = 0,40 \) y \(P(B) = 0,50 \)
a) ¿Pueden ser \(A \) y \(B \) sucesos incompatibles si se sabe que \(P(A \cup B) = 0,70 \)? Justifica rigurosamente la respuesta.
b) Calcula en tal caso la probabilidad de su intersección \(P(A \cap B) \)
Para resolver este ejercicio utilizaremos la fórmula general de la probabilidad de la unión de dos sucesos.
Para que dos sucesos sean incompatibles, su intersección debe ser el conjunto vacío y su probabilidad debe ser estrictamente cero.
Comprobaremos si dicha condición es compatible con los datos numéricos y despejaremos el valor de la intersección.
Condición necesaria de incompatibilidad.
Dos sucesos son incompatibles si y solo si su intersección es vacía (\(A \cap B = \emptyset \)), lo que implica:
Si fuesen incompatibles, la probabilidad de su unión debería ser la suma directa de probabilidades:
Comparación con el dato empírico.
El enunciado indica que:
Como la probabilidad real de la unión (\(0,70 \)) no coincide con la suma de las probabilidades (\(0,90 \)), los sucesos no pueden ser incompatibles.
Son necesariamente sucesos compatibles.
Cálculo de la probabilidad de la intersección.
Aplicamos la fórmula general de adición:
Despejamos la intersección:
Como \(P(A \cap B) = 0,20 > 0 \), se confirma de forma concluyente que ambos sucesos son compatibles y pueden ocurrir a la vez con un 20% de probabilidad.
Los sucesos no pueden ser incompatibles porque su unión no es la suma directa de sus probabilidades (\(0,70 \ne 0,90\)); son sucesos compatibles con una probabilidad de intersección de \(P(A \cap B) = 0,20 \)