4.1.7 Sucesos dependientes e independientes
1. DEFINICIÓN FORMAL DE INDEPENDENCIA ESTOCÁSTICA Dos sucesos \(A\) y \(B\) son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no altera ni condiciona en absoluto la probabilidad de que ocurra el otro: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\) Recordemos que la probabilidad condicionada \(P(A|B)\) es la probabilidad de que ocurra \(A\) sabiendo que previamente ha ocurrido \(B\), y se calcula como \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) Equivalentemente (en términos de probabilidad condicionada): \(P(A|B) = P(A) \quad \text{y} \quad P(B|A) = P(B)\) Ejemplo: Al lanzar dos monedas, \(A\) = «cara en la primera» y \(B\) = «cara en la segunda» son independientes: \(P(A \cap B) = \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = P(A) \cdot P(B)\) 2. SUCESOS DEPENDIENTES Dos sucesos son dependientes cuando la ocurrencia de \(B\) modifica la probabilidad de \(A\): \(P(A|B) \ne P(A) \iff P(A \cap B) \ne P(A) \cdot P(B)\) Extracciones con o sin reemplazamiento: - Con reemplazamiento: La composición de la urna no cambia, lo que implica que las extracciones son independientes . - Sin reemplazamiento: Cambia el número de casos favorables y posibles, lo que implica que las extracciones son dependientes . Ejemplo: Al extraer dos cartas sin reemplazamiento, \(A_1\) = «la primera es un as» y \(A_2\) = «la segunda es un as» son dependientes: \(P(A_2|A_1) = \frac{3}{39} \ne \frac{4}{40} = P(A_2)\) Ejemplo 1: Comprobación de independencia en el lanzamiento de un dado. En el lanzamiento de un dado equilibrado, sean \(A = \{2, 4, 6\}\) ("número par") y \(B = \{1, 2\}\) Comprueba si \(A\) y \(B\) son sucesos independientes.
Para comprobar la independencia empezaremos por recordar su definición: dos sucesos son independientes cuando \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\). A continuación calcularemos \(P(A)\) y \(P(B)\) con la regla de Laplace (el dado es equilibrado). Para terminar calcularemos \(P(A \cap B)\) y compararemos ambos miembros.
Cálculo de P(A) y P(B).
El dado es equilibrado, luego aplicamos la regla de Laplace. El suceso \(A\) tiene tres casos favorables de seis posibles:
El suceso \(B\) tiene dos casos favorables de seis posibles:
Cálculo de la probabilidad de la intersección.
La intersección contiene los elementos comunes a ambos sucesos: solo el dos:
Por la regla de Laplace, con un caso favorable de seis posibles:
Comparación con el producto.
Calculamos el producto de las probabilidades:
Como \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\) y \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6}\), se cumple la igualdad \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)
Los sucesos \(A\) y \(B\) son independientes: saber que ha salido par no altera la probabilidad de que haya salido uno o dos.
Si \(P(A) = 0,4\), \(P(B) = 0,5\) y \(P(A \cap B) = 0,2\), ¿son \(A\) y \(B\) sucesos independientes?
Para responder empezaremos por recordar la definición de independencia: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\). A continuación calcularemos el producto \(P(A) \cdot P(B)\) con los datos del enunciado. Para terminar lo compararemos con el valor dado de \(P(A \cap B)\)
Cálculo del producto de probabilidades.
Multiplicamos los datos del enunciado:
Comparación con la probabilidad de la intersección.
El enunciado nos da \(P(A \cap B) = 0,2\) Como \(0,20 = 0,2\) (los ceros a la derecha de la última cifra decimal no alteran el valor), se cumple:
Los sucesos \(A\) y \(B\) son independientes, porque la probabilidad de su intersección coincide con el producto de sus probabilidades.
Se lanza un dado dos veces. Sean \(A\) el suceso "sacar 6 en el primer lanzamiento" y \(B\) el suceso "sacar 6 en el segundo lanzamiento". Calcula \(P(A \cap B)\) razonando si los sucesos son independientes.
Para resolver este ejemplo empezaremos por analizar si el resultado del primer lanzamiento influye en
el segundo: como el dado no tiene memoria, los lanzamientos son independientes. A continuación calcularemos \(P(A)\) y \(P(B)\) con la regla de Laplace. Para terminar aplicaremos la definición de independencia para obtener \(P(A \cap B)\)
Análisis de la independencia.
El resultado del primer lanzamiento no modifica en absoluto las condiciones d
el segundo: el dado sigue siendo el mismo y equilibrado.
Por tanto, la ocurrencia de \(A\) no altera la probabilidad de \(B\), y los sucesos son independientes: \(P(B|A) = P(B)\)
Cálculo de P(A) y P(B).
En cada lanzamiento hay seis resultados equiprobables y solo uno es favorable ("sacar 6"):
Cálculo de la probabilidad conjunta.
Por la definición de independencia, \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\) Sustituyendo los valores obtenidos:
Como los lanzamientos son independientes, \(P(A \cap B) = \frac{1}{36}\)
Una urna contiene tres bolas rojas y dos bolas negras. Se extraen dos bolas sin devolver la primera a la urna. Sean \(R_1\) el suceso "la primera bola es roja" y \(R_2\) el suceso "la segunda bola es roja". Estudia si \(R_1\) y \(R_2\) son dependientes o independientes.
Para estudiar la dependencia empezaremos por recordar que dos sucesos son dependientes cuando \(P(R_2|R_1) \ne P(R_2)\), es decir, cuando la ocurrencia del primero modifica la probabilidad del segundo. A continuación calcularemos \(P(R_1)\) y \(P(R_2)\). Para terminar calcularemos la probabilidad condicionada \(P(R_2|R_1)\), teniendo en cuenta que la primera bola no se devuelve, y compararemos.
Probabilidades sin condicionar.
En la primera extracción hay cinco bolas en la urna, tres de ellas rojas:
Antes de extraer ninguna bola, por simetría, la segunda extracción tiene la misma probabilidad de ser roja que la primera (cada posición es igualmente probable para las bolas rojas):
Probabilidad condicionada sin reemplazamiento.
Si ha ocurrido \(R_1\), la primera bola (roja) no se devuelve: en la urna quedan cuatro bolas, de las cuales dos son rojas (tres menos la extraída) y dos son negras. La composición de la urna ha cambiado, luego:
Comparación y conclusión sobre la dependencia.
Comparamos: \(P(R_2|R_1) = \frac{1}{2}\) mientras que \(P(R_2) = \frac{3}{5}\) Como \(\frac{1}{2} \ne \frac{3}{5}\), se cumple \(P(R_2|R_1) \ne P(R_2)\)
Los sucesos \(R_1\) y \(R_2\) son dependientes: al no devolver la primera bola, su ocurrencia modifica la composición de la urna y, con ella, la probabilidad de la segunda extracción. (Con reemplazamiento, la composición no cambiaría y las extracciones serían independientes.)
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De una baraja española de 40 cartas se extraen consecutivamente dos cartas. Sean los sucesos \(O_1\) = "la primera carta es oros" y \(O_2\) = "la segunda carta es oros". Estudia formalmente si \(O_1\) y \(O_2\) son sucesos independientes o dependientes en los dos supuestos:
a) Si la primera carta se devuelve a la baraja antes de extraer la segunda (con reemplazamiento).
b) Si la primera carta no se devuelve a la baraja (sin reemplazamiento).
Para resolver este ejercicio calcularemos la probabilidad condicionada de que la segunda carta sea de oros habiendo sido la primera de oros, y la compararemos con la probabilidad simple de que la segunda carta sea de oros. La definición formal de independencia exige que la probabilidad condicionada coincida exactamente con la probabilidad simple.
Caso A — Extracción con reemplazamiento.
En la baraja hay 10 cartas de oros sobre un total de 40 cartas:
Al devolver la primera carta, la composición de la baraja para la segunda extracción es idéntica a la inicial (10 oros de 40 cartas):
Como \(P(O_2 \mid O_1) = P(O_2) = \frac{1}{4}\), el resultado de la primera extracción no influye en la segunda. Por tanto, con reemplazamiento los sucesos son estrictamente independientes.
Caso B — Extracción sin reemplazamiento.
Si la primera carta es oros y no se devuelve, quedan 9 oros en una baraja de 39 cartas:
Si la primera carta no fue de oros, quedan 10 oros en una baraja de 39 cartas:
La probabilidad simple de que la segunda carta sea de oros por probabilidad total es:
Como \(P(O_2 \mid O_1) = \frac{9}{39} \ne \frac{1}{4} = P(O_2)\), el resultado de la primera carta altera la probabilidad de la segunda. Por tanto, sin reemplazamiento los sucesos son dependientes.
En la extracción con reemplazamiento los sucesos son independientes (\(P(O_2 \mid O_1) = P(O_2) = \frac{1}{4}\)), mientras que sin reemplazamiento son dependientes (\(P(O_2 \mid O_1) = \frac{3}{13} \ne \frac{1}{4}\)).