4.1.1 Conceptos fundamentales
1. EXPERIMENTO ALEATORIO Y ESPACIO MUESTRAL Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no puede predecirse con certeza antes de realizarlo, aun conociendo las condiciones iniciales (por ejemplo, lanzar un dado equilibrado). El espacio muestral \(E\) (o \(\Omega\)) es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento aleatorio: \(E = \{e_1, e_2, \dots, e_n\}\) Ejemplo: En el lanzamiento de un dado y una moneda a la vez, cada resultado es una pareja ordenada con el valor del dado y el de la moneda: el espacio muestral tiene \(6 \cdot 2 = 12\) sucesos elementales, desde \((1, C)\) hasta \((6, +)\) El suceso «sacar número par y cara» es el suceso compuesto \(\{(2, C), (4, C), (6, C)\}\) 2. SUCESOS ALEATORIOS - Suceso elemental: Cada uno de los resultados individuales que forman \(E\) (subconjuntos con un solo elemento \(\{e_i\}\)). - Suceso compuesto: Subconjunto formado por dos o más sucesos elementales (ej. "obtener número par": \(\{2, 4, 6\}\)). - Suceso seguro: El propio espacio muestral \(E\) (ocurre siempre). - Suceso imposible: El conjunto vacío \(\emptyset\) (nunca puede ocurrir). Ejemplo: En el lanzamiento de dos dados, el suceso «suma 12» es un suceso elemental, \(\{(6, 6)\}\), mientras que «suma 7» es un suceso compuesto con seis elementos, \(\{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)\}\) El suceso «suma 13» es el suceso imposible, porque ninguna pareja de caras suma trece. Ejemplo 1: Espacio muestral en el lanzamiento de dos monedas. En el experimento aleatorio de lanzar una moneda dos veces consecutivas, determina el espacio muestral \(E\) Identifica los sucesos elementales e indica los elementos del suceso compuesto \(A\), definido como "sacar exactamente una cara".
Para resolver este ejemplo empezaremos por recordar la definición de espacio muestral como el conjunto de todos los posibles resultados del experimento. A continuación enumeraremos de forma ordenada los resultados del doble lanzamiento, distinguiendo el orden de las dos monedas. Para terminar identificaremos los sucesos elementales y seleccionaremos aquellos que verifican la propiedad "exactamente una cara" para construir el suceso compuesto \(A\)
Enumeración ordenada de todos los resultados.
Cada lanzamiento tiene dos resultados posibles: cara (\(C\)) o cruz (\(+\)). Como se lanza dos veces consecutivas, cada resultado del experimento es un par ordenado en el que distinguimos la primera moneda de la segunda; por ejemplo, \((C, +)\) significa cara en la primera y cruz en
la segunda, y es distinto de \((+, C)\)
Recorriendo todas las combinaciones obtenemos, por definición de espacio muestral, el conjunto de todos los posibles resultados:
Identificación de los sucesos elementales.
Por definición, un suceso elemental es cada uno de los resultados individuales del espacio muestral, es decir, cada subconjunto de \(E\) formado por un único elemento. Como el espacio muestral que acabamos de obtener contiene cuatro resultados distintos, hay cuatro sucesos elementales: uno por cada par ordenado de \(E\)
Construcción del suceso compuesto A.
El suceso \(A\) está definido por la propiedad "sacar exactamente una cara", es decir, contiene aquellos resultados del espacio muestral en los que aparece una sola cara. Recorremos uno a uno los cuatro resultados de \(E\): el par \((C, C)\) tiene dos caras, luego no pertenece a \(A\); el par \((C, +)\) tiene exactamente una cara, luego sí pertenece; el par \((+, C)\) tiene exactamente una cara, luego también pertenece; y el par \((+, +)\) no tiene ninguna cara, luego no pertenece. Por tanto:
El suceso \(A\) está formado por dos sucesos elementales, de modo que es un suceso compuesto.
El espacio muestral del lanzamiento de dos monedas es \(E = \{(C, C), (C, +), (+, C), (+, +)\}\), con cuatro sucesos elementales, y el suceso compuesto "sacar exactamente una cara" es \(A = \{(C, +), (+, C)\}\)
En el lanzamiento de un dado cúbico equilibrado, escribe el espacio muestral \(E\) Determina el suceso compuesto \(A\), definido como "sacar mayor que 4", e identifica el suceso "sacar un 8".
Para resolver este ejemplo empezaremos por enumerar las seis caras del dado para obtener el espacio muestral. A continuación seleccionaremos los resultados que cumplen la condición "mayor que 4" para construir el suceso \(A\). Para terminar aplicaremos la definición de suceso imposible al suceso "sacar un 8".
Determinación del espacio muestral.
Un dado cúbico tiene seis caras numeradas del 1 al 6; cada lanzamiento produce necesariamente uno de esos seis valores y no puede producir ningún otro. Por definición, el espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados:
Construcción del suceso compuesto A.
El suceso \(A\) recoge los resultados que verifican la propiedad "sacar mayor que 4". Recorremos los elementos de \(E\) y conservamos los estrictamente mayores que 4: el uno no lo es, el dos no lo es, el tres no lo es, el cuatro no lo es (es igual, no mayor), el cinco sí lo es y el seis sí lo es. Por tanto:
El suceso \(A\) consta de dos sucesos elementales, luego es un suceso compuesto.
Identificación del suceso "sacar un 8".
El número ocho no pertenece al espacio muestral \(E\), porque el dado solo tiene caras del 1 al 6. Por tanto, el conjunto de resultados favorables al suceso "sacar un 8" no contiene ningún elemento: es el conjunto vacío. Por definición, el conjunto vacío es el suceso imposible, aquel que nunca puede ocurrir:
El espacio muestral del dado es \(E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), el suceso "sacar mayor que 4" es el suceso compuesto \(A = \{5, 6\}\), y el suceso "sacar un 8" es el suceso imposible \(\emptyset\)
Al lanzar una moneda dos veces, el espacio muestral es \(E = \{(C, C), (C, +), (+, C), (+, +)\}\) Determina el suceso \(B\), definido como "obtener al menos una cara", e indica cuántos sucesos elementales lo forman.
Para resolver este ejemplo empezaremos por interpretar la expresión "al menos una cara" como la condición de que el número de caras sea mayor o igual que uno. A continuación comprobaremos uno a uno los cuatro sucesos elementales del espacio muestral. Para terminar formaremos el suceso \(B\) con los resultados que verifiquen la condición y lo clasificaremos según su número de elementos.
Interpretación de la condición.
La expresión "al menos una cara" significa que el número de caras del resultado es mayor o igual que uno; en particular, incluye los casos de exactamente una cara y de dos caras, y excluye únicamente el caso de cero caras.
Comprobación de cada suceso elemental.
Recorremos los cuatro pares ordenados de \(E\): el par \((C, C)\) tiene dos caras, luego verifica la condición; el par \((C, +)\) tiene exactamente una cara, luego también la verifica; el par \((+, C)\) tiene exactamente una cara, luego también la verifica; y el par \((+, +)\) no tiene ninguna cara, luego no la verifica. Por tanto, el suceso \(B\) está formado por los tres primeros resultados:
Clasificación del suceso \(B\)
El suceso \(B\) contiene tres sucesos elementales (tres resultados individuales), de modo que es un suceso compuesto. El único resultado del espacio muestral que no pertenece a \(B\) es el par \((+, +)\), el de cero caras.
El suceso "obtener al menos una cara" es \(B = \{(C, C), (C, +), (+, C)\}\), un suceso compuesto formado por tres sucesos elementales.
De una urna con bolas numeradas del 1 al 10 se extrae una bola al azar. Escribe el espacio muestral \(E\) y determina el suceso \(C\), definido como "obtener un múltiplo de 3".
Para resolver este ejemplo empezaremos por enumerar las diez bolas de la urna para obtener el espacio muestral. A continuación recordaremos qué significa ser múltiplo de 3 y seleccionaremos los números del 1 al 10 que lo sean. Para terminar formaremos el suceso \(C\) y lo clasificaremos.
Determinación del espacio muestral.
La urna contiene diez bolas numeradas correlativamente del 1 al 10; la extracción produce necesariamente uno de esos diez números y ningún otro. Por definición de espacio muestral:
Selección de los múltiplos de 3.
Un número es múltiplo de 3 cuando existe un entero \(k\) tal que el número es igual a \(3 \cdot k\) Recorriendo los valores de \(k\) obtenemos: \(3 \cdot 1 = 3\), \(3 \cdot 2 = 6\), \(3 \cdot 3 = 9\), y \(3 \cdot 4 = 12\), que ya excede el diez y queda fuera de la urna. Por tanto, los múltiplos de 3 entre el 1 y el 10 son el tres, el seis y el nueve:
Clasificación del suceso \(C\)
El suceso \(C\) está formado por tres sucesos elementales, luego es un suceso compuesto.
El espacio muestral de la extracción es \(E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\) y el suceso "obtener un múltiplo de 3" es el suceso compuesto \(C = \{3, 6, 9\}\)
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Se lanzan simultáneamente tres monedas equilibradas al aire.
a) Describe explícitamente el espacio muestral \(E\) indicando el número total de resultados posibles.
b) Determina el suceso compuesto \(A\) definido como "obtener al menos dos caras" y calcula su probabilidad mediante la regla de Laplace.
Para resolver este ejercicio construiremos el espacio muestral completo representando cada resultado elemental por una terna ordenada de caras y cruces. A continuación identificaremos los casos favorables que contienen dos o tres caras. Finalmente aplicaremos la regla de Laplace dividiendo los casos favorables entre los casos posibles.
Espacio muestral.
Llamamos \(C\) a obtener cara y \(X\) a obtener cruz. El lanzamiento simultáneo de tres monedas tiene \(2^3 = 8\) resultados elementales posibles:
El número de casos posibles es \(n(E) = 8\)
Identificación del suceso A.
El suceso \(A\) exige obtener al menos dos caras, es decir, exactamente 2 caras o exactamente 3 caras: Con 3 caras: \(CCC\) (1 caso). Con 2 caras: \(CCX, CXC, XCC\) (3 casos). Por tanto:
El número de casos favorables es \(n(A) = 4\)
Cálculo de la probabilidad por Laplace.
Como las tres monedas están equilibradas, todos los resultados elementales son equiprobables:
El espacio muestral contiene 8 resultados elementales y la probabilidad de obtener al menos dos caras es \(P(A) = \frac{1}{2} = 0,5\)