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3.6.6 Derivada del seno y del coseno

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1

Derivada del seno

Para todo \(x \) real se cumple:

$$(\operatorname{sen} x)' = \cos x $$

La demostración aplica la definición de derivada junto con la identidad $$\operatorname{sen} A - \operatorname{sen} B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\operatorname{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right) $$ y los límites notables $$\lim_{h \to 0}\frac{\operatorname{sen} h}{h} = 1 $$ (ver ejemplo 3):

$$(\operatorname{sen} x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x+h) - \operatorname{sen} x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2\cos\left(x + \frac{h}{2}\right)\operatorname{sen}\left(\frac{h}{2}\right)}{h} = \lim_{h \to 0} \cos\left(x + \frac{h}{2}\right) \cdot \frac{\operatorname{sen}\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} = \cos x \cdot 1 = \cos x $$
Ejemplo:

Por la regla de la cadena: \([\operatorname{sen}(3x)]' = 3\cos(3x) \)

2

Derivada del coseno

Para todo \(x \) real se cumple:

$$(\cos x)' = -\operatorname{sen} x $$

Se demuestra de forma análoga con la identidad $$\cos A - \cos B = -2\operatorname{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right)\operatorname{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right) $$, o bien escribiendo $$\cos x = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) $$ y aplicando la regla de la cadena.

Ejemplo:

Por la regla de la cadena: $$[\cos(x^2)]' = -\operatorname{sen}(x^2) \cdot 2x $$

Ejemplo 1: Derivada del seno

Deriva \(f(x) = 3\operatorname{sen} x \) y \(g(x) = \operatorname{sen} x + 2x \)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por aplicar la fórmula de la derivada del seno con el factor constante.

A continuación derivaremos la segunda función con la regla de la suma.

Para terminar escribiremos los resultados.

PASO 1

Derivada de \(f(x) = 3\operatorname{sen} x \)

$$f'(x) = 3\cos x $$
PASO 2

Derivada de \(g(x) = \operatorname{sen} x + 2x \)

$$g'(x) = \cos x + 2 $$
Conclusión

Las derivadas son \(f'(x) = 3\cos x \) y \(g'(x) = \cos x + 2 \)

Ejemplo 2: Derivada del coseno

Deriva \(f(x) = -2\cos x \) y \(g(x) = \cos x - e^x \)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por aplicar la fórmula de la derivada del coseno.

A continuación derivaremos la segunda función con la regla de la resta.

Para terminar escribiremos los resultados.

PASO 1

Derivada de \(f(x) = -2\cos x \)

$$f'(x) = -2 \cdot (-\operatorname{sen} x) = 2\operatorname{sen} x $$
PASO 2

Derivada de \(g(x) = \cos x - e^x \)

$$g'(x) = -\operatorname{sen} x - e^x $$
Conclusión

Las derivadas son \(f'(x) = 2\operatorname{sen} x \) y \(g'(x) = -\operatorname{sen} x - e^x \)

Ejemplo 3: Demostración de que (sin x)' = cos x

Demuestra aplicando la definición de derivada que la derivada del seno es el coseno.

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la definición de derivada para \(\operatorname{sen} x \)

A continuación aplicaremos la identidad de la resta de senos.

Para terminar usaremos los límites notables.

PASO 1

Planteamiento del límite.

$$(\operatorname{sen} x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x+h) - \operatorname{sen} x}{h} $$
PASO 2

Identidad trigonométrica.

Con $$\operatorname{sen} A - \operatorname{sen} B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\operatorname{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right) $$ tomando \(A = x+h \) y \(B = x \):

$$(\operatorname{sen} x)' = \lim_{h \to 0} \frac{2\cos\left(x + \frac{h}{2}\right)\operatorname{sen}\left(\frac{h}{2}\right)}{h} = \lim_{h \to 0} \cos\left(x + \frac{h}{2}\right) \cdot \frac{\operatorname{sen}\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} $$
PASO 3

Límites notables.

Cuando \(h \to 0 \), \(\cos\left(x + \frac{h}{2}\right) \to \cos x \) y \(\frac{\operatorname{sen}(h/2)}{h/2} \to 1 \):

$$(\operatorname{sen} x)' = \cos x \cdot 1 = \cos x $$
Conclusión

Queda demostrado que \((\operatorname{sen} x)' = \cos x \) para todo \(x \) real.

Ejemplo 4: Una función que verifica y'' + y = 0

Comprueba que la función \(y = 3\operatorname{sen} x - 2\cos x \) satisface la ecuación diferencial \(y'' + y = 0 \)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular la primera derivada.

A continuación derivaremos de nuevo para obtener la segunda derivada.

Para terminar sumaremos \(y'' \ \text{e}\\y \) y comprobaremos que se anulan.

PASO 1

Primera derivada.

$$y' = 3\cos x - 2(-\operatorname{sen} x) = 3\cos x + 2\operatorname{sen} x $$
PASO 2

Segunda derivada.

$$y'' = 3(-\operatorname{sen} x) + 2\cos x = -3\operatorname{sen} x + 2\cos x $$
PASO 3

Verificación de la ecuación.

$$y'' + y = (-3\operatorname{sen} x + 2\cos x) + (3\operatorname{sen} x - 2\cos x) = 0 $$
Conclusión

La función \(y = 3\operatorname{sen} x - 2\cos x \) verifica \(y'' + y = 0 \); de hecho, cualquier combinación de seno y coseno la satisface.

Ejemplo 5: Puntos con tangente horizontal

Halla los puntos del intervalo \([0, 2\pi] \) donde la función \(f(x) = \operatorname{sen} x + \cos x \) tiene tangente horizontal.

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar la función.

A continuación igualaremos la derivada a cero, pues la tangente horizontal tiene pendiente nula.

Para terminar resolveremos la ecuación trigonométrica en el intervalo dado.

PASO 1

Derivada de la función.

$$f'(x) = \cos x - \operatorname{sen} x $$
PASO 2

Igualar la derivada a cero.

$$\cos x - \operatorname{sen} x = 0 \rightarrow \cos x = \operatorname{sen} x \rightarrow \tan x = 1 $$
PASO 3

Soluciones en \([0, 2\pi] \)

La ecuación \(\tan x = 1 \) tiene en \([0, 2\pi] \) las soluciones \(x = \frac{\pi}{4} \) y \(x = \frac{5\pi}{4} \)

Conclusión

La función \(f(x) = \operatorname{sen} x + \cos x \) tiene tangente horizontal en \(x = \frac{\pi}{4} \) y en \(x = \frac{5\pi}{4} \)