3.6.4 Derivada de una exponencial
1. Derivada de la exponencial de base \(e\) La función exponencial \(f(x) = e^x\) tiene la propiedad extraordinaria de ser su propia derivada. Aplicando la definición: \((e^x)' = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} = \lim_{h \to 0} e^x \cdot \frac{e^h - 1}{h} = e^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}\) El número \(e\) se define precisamente para que ese límite notable valga uno: \(\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1\) Por tanto: \((e^x)' = e^x\) Ejemplo: Por la regla de la cadena: \((e^{2x})' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}\) 2. Derivada de la exponencial de base \(a\) Para una base \(a > 0\) cualquiera escribimos \(a^x = e^{x \ln a}\) y aplicamos la regla de la cadena: \((a^x)' = e^{x \ln a} \cdot \ln a = a^x \ln a\) La fórmula general con letras es, por tanto, \((a^x)' = a^x \ln a\) Observa que para \(a = e\) se recupera \((e^x)' = e^x\), pues \(\ln e = 1\) Ejemplo: Para la base \(3\): \((3^x)' = 3^x \ln 3\) Ejemplo 1: Derivada de la exponencial de base e Deriva \(f(x) = 5e^x\) y \(g(x) = e^x + x^4\)
Para resolver este ejemplo empezaremos por aplicar la regla del producto por una constante a la primera función. A continuación derivaremos la segunda con la regla de la suma. Para terminar escribiremos los resultados.
Derivada de \(f(x) = 5e^x\)
Derivada de \(g(x) = e^x + x^4\)
Las derivadas son \(f'(x) = 5e^x\) y \(g'(x) = e^x + 4x^3\)
Deriva \(f(x) = 2^x\) y \(g(x) = 10^x - e^x\)
Para resolver este ejemplo empezaremos por aplicar la fórmula de la exponencial de base \(a\) A continuación derivaremos la segunda función término a término. Para terminar escribiremos los resultados.
Derivada de \(f(x) = 2^x\)
Derivada de \(g(x) = 10^x - e^x\)
Las derivadas son \(f'(x) = 2^x \ln 2\) y \(g'(x) = 10^x \ln 10 - e^x\)
Demuestra aplicando la definición de derivada que la derivada de \(f(x) = e^x\) es ella misma.
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la definición de derivada para la función exponencial. A continuación sacaremos factor común \(e^x\) en el numerador. Para terminar usaremos el límite notable que define al número \(e\)
Planteamiento del límite.
Factor común.
Como \(e^{x+h} = e^x \cdot e^h\):
Límite notable.
El número \(e\) se define de modo que \(\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1\), luego:
Queda demostrado que \((e^x)' = e^x\): la exponencial de base \(e\) es la única función (salvo factor constante) que coincide con su derivada.
Calcula \(\lim_{h \to 0} \frac{5^{3+h} - 125}{h}\) reconociendo en él la definición de derivada.
Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar la función y el punto escondidos en el límite. A continuación calcularemos la derivada con la fórmula de la exponencial de base \(a\) Para terminar verificaremos el resultado operando directamente.
Identificación.
El límite tiene la forma \(\frac{f(a+h) - f(a)}{h}\) con \(f(x) = 5^x\) y \(a = 3\), pues \(f(3) = 5^3 = 125\) Por tanto, el límite es \(f'(3)\)
Cálculo de la derivada.
Verificación directa.
Como \(5^{3+h} = 125 \cdot 5^h\):
El límite vale \(125 \ln 5\)
Comprueba que la función \(f(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\) satisface la ecuación \(f''(x) = f(x)\)
Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular la primera derivada usando la regla de la cadena en el término \(e^{-x}\) A continuación derivaremos de nuevo. Para terminar compararemos el resultado con la función original.
Primera derivada.
La derivada de \(e^{-x}\) es \(e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}\) por la regla de la cadena:
Segunda derivada.
Derivamos de nuevo:
Como \(f''(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = f(x)\), la función verifica la ecuación \(f''(x) = f(x)\)
Esta función se llama coseno hiperbólico.