3.5.4 Teorema de bolzano
1. Enunciado del teorema de Bolzano Si \(f\) es continua en el intervalo cerrado \([a, b]\) y toma valores de signos opuestos en los extremos, es decir, \(f(a) \cdot f(b) < 0\) entonces existe al menos un punto \(c \in (a, b)\) tal que \(f(c) = 0\): la gráfica corta al eje \(OX\) dentro del intervalo. Es el caso particular del teorema de Darboux con el valor intermedio \(k = 0\) El teorema garantiza la existencia de la raíz, pero no dice cuántas hay ni dónde está exactamente. Para asegurar la unicidad se pide además que \(f\) sea estrictamente monótona en \([a, b]\), por ejemplo con \(f'(x) > 0\) o \(f'(x) < 0\) en todo el intervalo. Además, el teorema da lugar al método de bisección: se evalúa \(f\) en el punto medio y se conserva la mitad del intervalo donde se mantiene el cambio de signo, aproximando la raíz con la precisión que se desee. Ejemplo: La función \(f(x) = x^3 - x - 1\) es continua en \([1, 2]\) y \(f(1) = -1 < 0 < 5 = f(2)\): existe \(c \in (1, 2)\) con \(f(c) = 0\) Ejemplo 1: Raíz de una ecuación cúbica Demuestra que la ecuación \(x^3 + 2x - 5 = 0\) posee al menos una raíz real en el intervalo \([1, 2]\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir la función polinómica asociada a la ecuación y comprobar que es continua en el intervalo. A continuación evaluaremos la función en los extremos para detectar el cambio de signo. Para terminar aplicaremos el teorema de Bolzano.
Función y continuidad.
Definimos \(f(x) = x^3 + 2x - 5\), que al ser polinómica es continua en todo \(\mathbb{R}\) y en particular en \([1, 2]\)
Cambio de signo en los extremos.
Se cumple \(f(1) \cdot f(2) = -14 < 0\)
Por el teorema de Bolzano existe \(c \in (1, 2)\) tal que \(f(c) = 0\); la ecuación tiene al menos una raíz real entre 1 y 2.
Demuestra que la ecuación \(\cos x = x\) tiene exactamente una solución en \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por construir la función auxiliar cuya anulación equivale a la ecuación dada. Después evaluaremos en los extremos para aplicar Bolzano y garantizar la existencia. Para terminar estudiaremos la derivada para probar que la función es estrictamente monótona y la raíz es única.
Función auxiliar y existencia.
Hay cambio de signo, luego existe \(c \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) con \(f(c) = 0\)
Unicidad por monotonía.
En \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) se cumple \(\operatorname{sen} x > 0\), luego \(f'(x) < 0\) en todo el intervalo: \(f\) es estrictamente decreciente y solo puede cortar al eje una vez.
La ecuación \(\cos x = x\) tiene exactamente una solución, situada en \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\)
Aplica una iteración del método de bisección para estrechar el intervalo donde se encuentra la raíz de \(x^3 + x - 1 = 0\), sabiendo que está en \([0, 1]\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por confirmar el cambio de signo en los extremos del intervalo inicial. A continuación calcularemos el punto medio y evaluaremos la función en él. Para terminar nos quedaremos con la mitad del intervalo donde se conserva el cambio de signo, que es donde el teorema de Bolzano garantiza que sigue estando la raíz.
Cambio de signo inicial.
Con \(f(x) = x^3 + x - 1\):
Punto medio.
El punto medio de \([0, 1]\) es \(m = 0,5\):
Nuevo intervalo.
Como \(f(0,5)\) tiene el mismo signo que \(f(0)\), el cambio de signo se conserva en \([0,5; 1]\)
Tras una iteración sabemos que la raíz está en \((0,5; 1)\); repitiendo el proceso se aproxima con la precisión deseada.
Demuestra que la ecuación \(e^x + x - 4 = 0\) tiene exactamente una solución real y localízala entre dos enteros consecutivos.
Para resolver este ejercicio empezaremos por definir la función asociada y probar que es continua. Después buscaremos dos enteros consecutivos donde cambie de signo para aplicar Bolzano. Para terminar usaremos la derivada para garantizar que la raíz es única.
Función y cambio de signo.
porque \(y < 2,8 < 3\)
porque \(e^2 > 2,7^2 = 7,29 > 2\) Por Bolzano existe \(c \in (1, 2)\) con \(h(c) = 0\)
Unicidad.
\(h'(x) = e^x + 1 > 0\) para todo \(x\), luego \(h\) es estrictamente creciente en todo \(\mathbb{R}\) y la raíz es única.
La ecuación tiene exactamente una solución real, situada entre los enteros 1 y 2.
Demuestra que la ecuación polinómica \(x^3 - 3x + 1 = 0\) tiene al menos una raíz real en el intervalo abierto \((0, 1)\), y acota dicha solución a un subintervalo de longitud \(0,5\)
Para resolver este ejercicio definiremos la función auxiliar asociada a la ecuación y comprobaremos su continuidad en el intervalo cerrado. Aplicaremos el teorema de Bolzano verificando que la función toma signos opuestos en los extremos. Para terminar evaluaremos el punto medio para reducir el intervalo de incertidumbre a la mitad.
Definición de la función continua.
Sea la función \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) Por ser un polinomio, \(f\) es continua en todo \(\mathbb{R}\), y en particular en el intervalo cerrado \([0, 1]\)
Evaluación en los extremos del intervalo.
En el extremo izquierdo \(x = 0\):
En el extremo derecho \(x = 1\):
Aplicación del teorema de Bolzano.
Como \(f\) es continua en \([0, 1]\) y \(f(0) \cdot f(1) = 1 \cdot (-1) = -1 < 0\), el teorema de Bolzano garantiza la existencia de al menos un punto \(c \in (0, 1)\) tal que:
Reducción del intervalo mediante el método de bisección.
Evaluamos en el punto medio \(x = 0,5 = \frac{1}{2}\):
Comparamos signos:
Como cambian de signo entre \(0\) y \(0,5\), la raíz \(c\) está contenida en el subintervalo \((0; 0,5)\), cuya longitud es exactamente \(0,5\)
El teorema de Bolzano demuestra que la ecuación tiene al menos una raíz en el intervalo \((0, 1)\), y aplicando bisección se acota dicha raíz al subintervalo \((0; 0,5)\)