3.5.3 Teorema de los valores intermedios o de darboux
1. Enunciado del teorema de los valores intermedios (Darboux) Teorema de los valores intermedios (Darboux). Si \(f\) es continua en el intervalo cerrado \([a, b]\), entonces toma todos los valores intermedios comprendidos entre \(f(a)\) y \(f(b)\): \(\forall k \text{ entre } f(a) \text{ y } f(b), \ \exists c \in (a, b) \text{ tal que } f(c) = k\) Interpretación geométrica: cualquier recta horizontal \(y = k\) situada entre las alturas \(y = f(a) \ \text{e}\ y = f(b)\) corta a la gráfica de la función al menos en un punto de abscisa \(c \in (a, b)\) En consecuencia, la imagen de un intervalo mediante una función continua es otro intervalo, sin saltos ni agujeros: es la propiedad de Darboux. El teorema de Bolzano es el caso particular \(k = 0\) Ejemplo: La función \(f(x) = x^3\) es continua en \([0, 2] ,\ \text{con}\ f(0) = 0\) y \(f(2) = 8\): toma el valor intermedio \(4\) en \(c = \sqrt[3]{4} \in (0, 2)\) Ejemplo 1: Un valor intermedio alcanzado por una cúbica Demuestra que \(f(x) = x^3 - x\) toma el valor \(k = 5\) en el intervalo \([1, 2]\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar las hipótesis del teorema: continuidad en el intervalo cerrado. A continuación evaluaremos la función en los extremos. Para terminar verificaremos que el valor pedido está comprendido entre esos dos valores.
Hipótesis.
Valores en los extremos.
Aplicación del teorema.
Como \(0 < 5 < 6\), el valor \(k = 5\) está comprendido entre \(f(1)\) y \(f(2)\) Por el teorema de Darboux existe \(c \in (1, 2)\) tal que \(f(c) = 5\)
La ecuación \(x^3 - x = 5\) tiene al menos una solución en el intervalo \((1, 2)\)
Demuestra que la ecuación \(e^x = 3x\) tiene al menos una solución en \([0, 1]\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir la ecuación como la anulación de una función auxiliar continua, de modo que podamos aplicar los teoremas de funciones continuas. A continuación evaluaremos esa función en los extremos del intervalo. Para terminar aplicaremos el teorema de Darboux con el valor intermedio adecuado.
Función auxiliar.
Definimos \(g(x) = e^x - 3x\), continua en todo \(\mathbb{R}\) por ser diferencia de funciones continuas. Resolver \(e^x = 3x\) equivale a resolver \(g(x) = 0\)
Valores en los extremos.
porque \(y < 2,8 < 3\)
Aplicación del teorema.
El valor \(k = 0\) está comprendido entre \(g(0) = 1\) y \(g(1) < 0\), luego existe \(c \in (0, 1)\) con \(g(c) = 0\), es decir, \(e^c = 3c\)
La ecuación \(e^x = 3x\) posee al menos una solución en \((0, 1)\)
Demuestra que las curvas \(y = x^3 \ \text{e}\ y = 3 - x\) se cortan en algún punto con abscisa entre 1 y 2.
Para resolver este ejercicio empezaremos por construir la función diferencia de ambas curvas, cuyos ceros son exactamente los puntos de corte. A continuación evaluaremos esa diferencia en los extremos del intervalo. Para terminar aplicaremos el teorema de Darboux.
Función diferencia.
Es polinómica, luego continua en \([1, 2]\) Los puntos de corte de las curvas son las soluciones de \(h(x) = 0\)
Valores en los extremos.
Aplicación del teorema.
El valor \(k = 0\) está entre \(-1\) y 7, luego existe \(c \in (1, 2)\) con \(h(c) = 0\), es decir, \(c^3 = 3 - c\)
Las dos curvas se cortan en el punto \((c, c^3)\) con \(1 < c < 2\)
Demuestra que \(f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 + 4}\) alcanza el valor \(k = \frac{1}{2}\) en el intervalo \([0, 2]\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que la función es continua en el intervalo cerrado, vigilando el denominador. A continuación calcularemos los valores en los extremos. Para terminar comprobaremos que el valor pedido es intermedio y aplicaremos el teorema.
Continuidad.
El denominador \(x^2 + 4 > 0\) para todo \(x\), luego \(f\) es un cociente de continuas con divisor no nulo y es continua en todo \(\mathbb{R}\), en particular en \([0, 2]\)
Valores en los extremos.
Aplicación del teorema.
Como \(\frac{1}{4} < \frac{1}{2} < \frac{9}{8}\), el valor \(k = \frac{1}{2}\) es intermedio entre \(f(0)\) y \(f(2)\) Por el teorema de Darboux existe \(c \in (0, 2)\) tal que \(f(c) = \frac{1}{2}\)
La ecuación \(\frac{x^3 + 1}{x^2 + 4} = \frac{1}{2}\) tiene al menos una solución en \((0, 2)\)
Demuestra que la función continua \(f(x) = e^x + 2x\) toma exactamente el valor \(5\) en algún punto del intervalo cerrado \([0, 2]\)
Para resolver este ejercicio verificaremos la continuidad de la función en el intervalo considerado. Calcularemos los valores de la función en los extremos del intervalo para comprobar que el valor objetivo 5 se encuentra estrictamente comprendido entre ambos. Finalmente aplicaremos el teorema de los valores intermedios (o de Darboux) para garantizar la existencia de dicho punto interior.
Continuidad de la función.
La función \(f(x) = e^x + 2x\) es la suma de una función exponencial y una función lineal, ambas continuas en todo \(\mathbb{R}\) Por tanto, \(f\) es estrictamente continua en el intervalo cerrado \([0, 2]\)
Evaluación en los extremos del intervalo.
Extremo izquierdo \(x = 0\):
Extremo derecho \(x = 2\):
Comprobación del valor intermedio.
El número \(k = 5\) cumple estrictamente:
Es decir, \(5\) es un valor intermedio entre \(f(0)\) y \(f(2)\)
Aplicación del teorema de Darboux.
Por el teorema de los valores intermedios de Darboux, como \(f\) es continua en \([0, 2]\) y \(f(0) < 5 < f(2)\), existe al menos un punto interior \(c \in (0, 2)\) tal que:
Por el teorema de los valores intermedios, queda demostrado que existe al menos un punto \(c \in (0, 2)\) tal que \(e^c + 2c = 5\)