Tipos de discontinuidades

Question

Discontinuidad evitable

Accepted Answer

Enunciado del ejercicio
  
    1. Discontinuidad evitable Si falla alguna condición de continuidad en $x = c$, la discontinuidad se clasifica según los límites laterales. Es evitable cuando existe el límite global finito $\lim_{x \to c} f(x) = L$ pero $f(c)$ no existe o $f(c) \neq L$ Basta redefinir $f(c) = L$ para que la función se vuelva continua: el "agujero" se tapa con un solo punto. Ejemplo: La función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ tiene una discontinuidad evitable en $x = 1$: existe el límite finito $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$, pero $f(1)$ no existe. 2. Discontinuidad inevitable de salto finito Es inevitable de salto finito cuando existen los dos límites laterales, ambos finitos, pero son distintos: $\lim_{x \to c^-} f(x) = L^- \neq L^+ = \lim_{x \to c^+} f(x)$ La gráfica da un "salto" cuya altura se mide con $\text{salto} = |L^+ - L^-|$ Ninguna redefinición puntual puede hacer continua la función. Ejemplo: La función $f(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \ 1 & x \ge 0 \end{cases}$ tiene en $x = 0$ una discontinuidad inevitable de salto finito: los laterales son $0$ y $1$, con salto $1$ 3. Discontinuidad inevitable de salto infinito Es inevitable de salto infinito, también llamada esencial o asintótica, cuando al menos uno de los límites laterales es $\pm\infty$ En ese caso la recta $x = c$ es además asíntota vertical de la función. Ejemplo: La función $f(x) = \frac{1}{x}$ tiene en $x = 0$ una discontinuidad inevitable de salto infinito: $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$, y la recta $x = 0$ es asíntota vertical. Ejemplo 1: Agujero en una función racional Clasifica la discontinuidad en $x = 2$ de $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

Explicación
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar si el punto pertenece al dominio. A continuación simplificaremos la fracción para calcular el límite, ya que hay un factor común. Para terminar compararemos el límite con el valor de la función y clasificaremos la discontinuidad.

PASO 1
Dominio y simplificación.
$f(2)$ no existe porque el denominador se anula. Para $x \neq 2$:
$$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2$$

PASO 2
Límite en el punto.
$$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$$

Conclusión
Existe el límite finito $L = 4$ pero no existe $f(2)$; es una discontinuidad evitable que se corrige definiendo $f(2) = 4$

Ejemplo 2: Salto en una función a trozos
  
Clasifica la discontinuidad en $x = 0$ de $f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si } x < 0 \ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$
Explicación
Para resolver este ejercicio calcularemos el valor de la función en el punto y después cada límite lateral con su trozo correspondiente. Como los laterales van a resultar distintos, mediremos la altura del salto. Para terminar clasificaremos la discontinuidad.

PASO 1
Valor puntual y lateral izquierdo.

$$f(0) = 0^2 = 0$$
  $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x + 1) = 1$$

PASO 2
Límite lateral derecho.
$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0$$

PASO 3
Altura del salto.
Los laterales son finitos pero distintos, luego:
$$\text{salto} = |0 - 1| = 1$$

Conclusión
Es una discontinuidad inevitable de salto finito, con salto de altura 1; la gráfica "salta" de la altura 1 a la altura 0 al cruzar $x = 0$

Ejemplo 3: Discontinuidad asintótica
  
Clasifica la discontinuidad en $x = 3$ de $f(x) = \frac{1}{x - 3}$
Explicación
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar el dominio en el punto. A continuación calcularemos los dos límites laterales, determinando con cuidado el signo con que el denominador tiende a cero. Para terminar clasificaremos la discontinuidad.

PASO 1
Dominio.
$f(3)$ no existe porque el denominador se anula en $x = 3$

PASO 2
Límites laterales.
Por la izquierda el denominador tiende a cero con valores negativos:
$$\lim_{x \to 3^-} \frac{1}{x - 3} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$
Por la derecha tiende a cero con valores positivos:
$$\lim_{x \to 3^+} \frac{1}{x - 3} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$

Conclusión
Es una discontinuidad inevitable de salto infinito (asintótica); la recta $x = 3$ es asíntota vertical de la función.

Ejemplo 4: Salto finito con valor puntual distinto de ambos laterales
  
Clasifica la discontinuidad en $x = 1$ de $f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x \le 1 \ x^2 - 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}$
Explicación
Para resolver este ejercicio calcularemos el valor puntual y los dos límites laterales. Después compararemos los tres valores entre sí para decidir el tipo de discontinuidad y mediremos el salto.

PASO 1
Valor puntual y lateral izquierdo.

$$f(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3$$
  $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x + 1) = 3$$

PASO 2
Límite lateral derecho.
$$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 - 1) = 0$$

PASO 3
Clasificación.
Los laterales son finitos y distintos ($3 \neq 0$), luego no existe el límite global:
$$\text{salto} = |0 - 3| = 3$$

Conclusión
Es una discontinuidad inevitable de salto finito con salto de altura
3. Obsérvese que el valor puntual coincide con el lateral izquierdo, pero eso no evita el salto.

Ejemplo 5: La función parte entera
  
Clasifica la discontinuidad de $f(x) = E(x)$ en $x = 2$, donde $E(x)$ es el mayor entero menor o igual que $x$
Explicación
Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar cómo se comporta la parte entera a cada lado de un número entero. A continuación calcularemos el valor puntual y los dos límites laterales. Para terminar mediremos el salto.

PASO 1
Valor puntual.
$$f(2) = E(2) = 2$$

PASO 2
Límites laterales.
Justo a la izquierda de 2 los valores son algo menores que 2, luego su parte entera es 1:
$$\lim_{x \to 2^-} E(x) = 1$$
Justo a la derecha de 2 la parte entera ya vale 2:
$$\lim_{x \to 2^+} E(x) = 2$$

PASO 3
Salto.
$$\text{salto} = |2 - 1| = 1$$

Conclusión
En cada número entero la parte entera presenta una discontinuidad inevitable de salto finito de altura 1; en $x = 2$ el salto va de 1 a 2.

3.4.2 Tipos de discontinuidades

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