3.2.2 Límites laterales y existencia del límite de una función en un punto

Definición de límites laterales

Cuando nos acercamos a $c $ solo por valores menores que $c $ hablamos del límite lateral por la izquierda, y cuando lo hacemos solo por valores mayores que $c $, del límite lateral por la derecha.

Se escriben:

$$\lim_{x \to c^-} f(x) $$

$$\lim_{x \to c^+} f(x) $$

📝 Ejemplo:

Para $f(x) = \frac{1}{x} $ en $c = 0 $: $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty $ y $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty $

Teorema de existencia del límite

El límite global de $f $ en $c $ existe si y solo si existen los dos límites laterales y coinciden:

$$\lim_{x \to c} f(x) = L \iff \lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = L $$

Si los laterales son distintos, el límite global NO existe.

📝 Ejemplo:

Para $f(x) = \frac{|x|}{x} $ en $c = 0 $, los laterales son $-1 $ y $1 $: como no coinciden, el límite global no existe.

Cálculo práctico en funciones a trozos

En una función definida a trozos, para estudiar el límite en un punto de cambio de rama se calcula cada lateral con su rama; en el resto de puntos se sustituye directamente en la rama que corresponda.

📝 Ejemplo:

Si $$f(x) = \begin{cases} x + 1 & x < 2 \\ 3 & x \ge 2 \end{cases} $$, en el punto de cambio $x = 2 $: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3 $ y $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 3 $, luego $\lim_{x \to 2} f(x) = 3 $

📝 Ejemplo 1: Laterales de una función a trozos

Calcular los límites laterales en $x = 0 $ de la función $$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & x < 0 \\ x^2 & x \geq 0 \end{cases} $$

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar qué rama de la función actúa a cada lado de $x = 0 $

A continuación calcularemos el límite lateral por la izquierda con la rama correspondiente.

Para terminar calcularemos el límite lateral por la derecha.

👉 PASO 1

Límite lateral por la izquierda.

A la izquierda de $0 $ la función es $2x + 1 $:

$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (2x + 1) = 1 $$

👉 PASO 2

Límite lateral por la derecha.

A la derecha de $0 $ la función es $x^2 $:

$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0 $$

✅ Conclusión

Los laterales en $x = 0 $ valen $1 $ por la izquierda y $0 $ por la derecha.

📝 Ejemplo 2: Una función sin límite en un punto

Estudiar la existencia de $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x} $

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la función sin el valor absoluto, distinguiendo el signo de $x $

A continuación calcularemos cada límite lateral.

Para terminar aplicaremos el teorema de existencia del límite.

👉 PASO 1

Expresión sin valor absoluto.

Si $x > 0 $:

$$\frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1 $$

Si $x < 0 $:

$$\frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1 $$

👉 PASO 2

Límites laterales.

$$\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = -1 $$

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = 1 $$

✅ Conclusión

Como los laterales son distintos ($-1 \neq 1 $), el límite global $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x} $ no existe.

📝 Ejemplo 3: Límite existente en un punto de cambio

Calcular $\lim_{x \to 2} f(x) $ para $$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & x < 2 \\ 5 - x & x \geq 2 \end{cases} $$

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el lateral por la izquierda con la primera rama.

A continuación calcularemos el lateral por la derecha con la segunda rama.

Para terminar compararemos ambos resultados.

👉 PASO 1

Lateral por la izquierda.

$$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 - 1) = 4 - 1 = 3 $$

👉 PASO 2

Lateral por la derecha.

$$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (5 - x) = 5 - 2 = 3 $$

✅ Conclusión

Los dos laterales coinciden y valen $3 $, luego $\lim_{x \to 2} f(x) = 3 $

📝 Ejemplo 4: Hallar un parámetro para que exista el límite

Sea $$f(x) = \begin{cases} x^2 + k & x < 3 \\ 2x + 1 & x \geq 3 \end{cases} $$

Hallar $k $ para que exista $\lim_{x \to 3} f(x) $

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el límite lateral por la izquierda en función de $k $

A continuación calcularemos el límite lateral por la derecha.

Para terminar igualaremos ambos laterales, pues el límite global existe exactamente cuando coinciden.

👉 PASO 1

Lateral por la izquierda.

$$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (x^2 + k) = 9 + k $$

👉 PASO 2

Lateral por la derecha.

$$\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (2x + 1) = 7 $$

👉 PASO 3

Igualación de laterales.

$$9 + k = 7 \rightarrow k = -2 $$

✅ Conclusión

Con $k = -2 $ el límite existe y vale $7 $

📝 Ejemplo 5: Existencia con una rama racional

Estudiar la existencia de $\lim_{x \to 1} f(x) $ para $$f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 - x}{x^2 - x} & x < 1 \\ 2x - 1 & x > 1 \end{cases} $$

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por simplificar la rama racional factorizando numerador y denominador.

A continuación calcularemos el lateral por la izquierda con la expresión simplificada.

Para terminar calcularemos el lateral por la derecha y compararemos.

👉 PASO 1

Simplificación de la primera rama.

Para $x \neq 0 $ y $x \neq 1 $:

$$\frac{x^3 - x}{x^2 - x} = \frac{x(x - 1)(x + 1)}{x(x - 1)} = x + 1 $$

👉 PASO 2

Lateral por la izquierda.

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x + 1) = 2 $$

👉 PASO 3

Lateral por la derecha.

$$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x - 1) = 1 $$

✅ Conclusión

Los laterales valen $2 $ y $1 $, luego son distintos y $\lim_{x \to 1} f(x) $ no existe.