3.2.10 Indeterminaciones del tipo infinito menos infinito
Fracciones algebraicas: reducir a común denominador
Cuando la indeterminación \(\infty - \infty \) aparece como resta de fracciones, se reducen a común denominador y se opera; lo que queda suele ser una indeterminación \(\frac{\infty}{\infty} \) o \(\frac{0}{0} \) que ya sabemos resolver.
Reduciendo a común denominador: $$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{x^2 - 1} = 0 $$
Diferencia de raíces: multiplicar por el conjugado
Si la indeterminación es una resta de raíces, se multiplica y divide por la suma (el conjugado); la identidad de la diferencia de cuadrados elimina las raíces del numerador.
Multiplicando por el conjugado: $$\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x} }= 0 $$
Calcular $$\lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x^2 - 1}\right) $$
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el tipo de indeterminación.
A continuación reduciremos a común denominador y simplificaremos.
Para terminar calcularemos el límite resultante.
Detección de la indeterminación.
Cuando \(x \to 1 \), tanto \(\frac{1}{x - 1} \) como \(\frac{2}{x^2 - 1} \) tienden a infinito: indeterminación \(\infty - \infty \)
Común denominador y simplificación.
válido para \(x \neq 1 \)
Cálculo del límite.
El límite vale \(\frac{1}{2} \)
Calcular $$\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) $$
Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar y dividir por el conjugado \(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x} \)
A continuación simplificaremos el numerador con la identidad de la diferencia de cuadrados.
Para terminar pasaremos al límite.
Multiplicación por el conjugado.
El denominador tiende a \(+\infty \), luego el cociente tiende a \(0 \)
Resultado.
El límite vale \(0 \)
Calcular $$\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right) $$
Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar y dividir por el conjugado \(\sqrt{x^2 + x} + x \)
A continuación simplificaremos y sacaremos factor común \(x \)
Para terminar pasaremos al límite.
Multiplicación por el conjugado.
Factor común x.
Como \(x > 0 \):
Paso al límite.
El límite vale \(\frac{1}{2} \)
Calcular $$\lim_{x \to +\infty} \left(x - \sqrt{x^2 - 4x}\right) $$
Para resolver este ejercicio empezaremos por multiplicar y dividir por el conjugado \(x + \sqrt{x^2 - 4x} \)
A continuación dividiremos numerador y denominador entre \(x \)
Para terminar pasaremos al límite.
Multiplicación por el conjugado.
División entre x.
Paso al límite.
El límite vale \(2 \)
Calcular $$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x^2}{x - 1} - \frac{x^2}{x + 1}\right) $$
Para resolver este ejercicio empezaremos por reducir a común denominador.
A continuación operaremos el numerador.
Para terminar aplicaremos la regla de los grados.
Común denominador.
Regla de los grados.
El límite vale \(2 \)