3.2.1 Definición e idea intuitiva de límite
1. Idea intuitiva de límite Decir que el límite de una función \(f\) cuando \(x\) tiende a \(c\) es \(L\), y escribirlo como \(\lim_{x \to c} f(x) = L\) significa que podemos conseguir que los valores de \(f(x)\) estén tan próximos a \(L\) como queramos, sin más que tomar valores de \(x\) suficientemente cercanos a \(c\), pero distintos de \(c\) La forma práctica de intuir un límite es observar qué ocurre con \(f(x)\) cuando \(x\) se acerca a \(c\) por la izquierda y por la derecha, por ejemplo con una tabla de valores. Ejemplo: Para \(f(x) = 2x + 1\), cuando \(x\) se acerca a \(2\) los valores \(f(1{,}9) = 4{,}8\), \(f(1{,}99) = 4{,}98\) se acercan a \(5\): \(\lim_{x \to 2} (2x + 1) = 5\) 2. Definición formal de límite (épsilon-delta) La definición rigurosa precisa la idea intuitiva: el límite de \(f\) cuando \(x\) tiende a \(c\) es \(L\) si, para cualquier margen de error \(\varepsilon > 0\) que fijemos alrededor de \(L\), podemos encontrar un entorno de \(c\) de radio \(\delta > 0\) tal que todos los valores de \(x\) dentro de ese entorno (salvo el propio \(c\)) tienen su imagen dentro del margen de error. En símbolos: \(\forall \varepsilon > 0, \; \exists \delta > 0 \; \text{tal que} \; 0 < |x - c| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon\) Ejemplo: Con \(f(x) = 2x + 1\) y \(L = 5\), dado cualquier \(\varepsilon > 0\) basta tomar \(\delta = \frac{\varepsilon}{2}\): si \(|x - 2| < \delta\) entonces \(|(2x+1) - 5| = 2|x - 2| < \varepsilon\) 3. El valor de la función en el punto es irrelevante El límite cuando \(x\) tiende a \(c\) solo depende de lo que ocurre CERCA de \(c\), nunca de lo que vale \(f(c)\) La función puede no estar definida en \(c\), o tener en \(c\) un valor completamente distinto del límite, y el límite seguirá existiendo con el mismo valor. Ejemplo: La función \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) no está definida en \(x = 1\), pero \(\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2\): el valor en el punto es irrelevante para el límite. Ejemplo 1: Aproximación numérica del límite Calcular, mediante una tabla de valores, el límite de la función \(f(x) = x^2\) cuando \(x\) tiende a \(3\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por dar a \(x\) valores cada vez más próximos a \(3\) por la izquierda. A continuación haremos lo mismo por la derecha. Para terminar observaremos a qué valor se acercan las imágenes.
Valores de x menores que
3. Tomamos valores próximos a \(3\) por la izquierda:
Las imágenes se acercan a \(9\) por debajo.
Valores de x mayores que
3. Tomamos valores próximos a \(3\) por la derecha:
Las imágenes se acercan a \(9\) por encima.
El límite de \(f(x) = x^2\) cuando \(x\) tiende a \(3\) es \(9\), es decir, \(\lim_{x \to 3} x^2 = 9\)
Demostrar, aplicando la definición formal de límite, que \(\lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la distancia entre la función y el candidato a límite. A continuación acotaremos esa distancia en función de la distancia entre \(x\) y \(2\) Para terminar elegiremos el valor de \(\delta\) adecuado en función de \(\varepsilon\)
Acotación de la diferencia.
Fijado \(\varepsilon > 0\) arbitrario, estudiamos \(|f(x) - L|\):
Queremos que esta cantidad sea menor que \(\varepsilon\):
Elección de delta.
Basta tomar \(\delta = \frac{\varepsilon}{3}\) En efecto, si \(0 < |x - 2| < \delta\), multiplicando por \(3\) obtenemos \(3|x - 2| < 3\delta\), y como \(3\delta = \varepsilon\), concluimos que \(|f(x) - 5| < \varepsilon\)
Queda demostrado con la definición épsilon-delta que \(\lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5\)
Sea \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) si \(x \neq 1\), y \(f(1) = 5\) Calcular \(\lim_{x \to 1} f(x)\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por factorizar el numerador para simplificar la expresión cuando \(x \neq 1\) A continuación calcularemos el límite de la expresión simplificada. Para terminar compararemos el resultado con el valor de \(f(1)\)
Simplificación algebraica.
Para \(x \neq 1\) podemos simplificar el factor común:
Cálculo del límite.
El límite vale \(2\) aunque \(f(1) = 5\): el valor de la función en el punto no influye en el límite.
Calcular \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que se trata de una indeterminación del tipo cero entre cero. A continuación factorizaremos el numerador y el denominador para simplificar el factor común. Para terminar calcularemos el límite de la expresión simplificada.
Detección de la indeterminación.
Sustituyendo \(x = 2\):
Se trata de una indeterminación del tipo \(\frac{0}{0}\)
Factorización y simplificación.
El numerador tiene raíces \(x = 2\) y \(x = 3\), luego \(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\) El denominador es una diferencia de cuadrados: \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\) Por tanto, para \(x \neq 2\):
Cálculo del límite.
El límite existe y vale \(-\frac{1}{4}\)
Calcular \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la indeterminación. A continuación multiplicaremos el numerador y el denominador por el conjugado de la raíz para eliminarla. Para terminar calcularemos el límite de la expresión simplificada.
Detección de la indeterminación.
Sustituyendo \(x = 0\): \(\frac{\sqrt{1} - 1}{0} = \frac{0}{0}\)
Multiplicación por el conjugado.
Cálculo del límite.
El límite existe y vale \(\frac{1}{2}\)