3.13.1 Integrales definidas regla de barrows

Concepto de integral definida y regla de Barrow

La integral definida $\int_a^b f(x) \, dx $ mide el área neta signada bajo la curva $y = f(x) $ entre las rectas verticales $x = a $ y $x = b $

Regla de Barrow:

si $f(x) $ es continua en $[a, b] $ y $F(x) $ es una primitiva cualquiera de $f(x) $ (es decir, $F'(x) = f(x) $), entonces:

$$\int_a^b f(x) \, dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) $$

Ejemplo:

Por la regla de Barrow: $$\int_0^1 x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} $$

Propiedades fundamentales de la integral definida

$$\int_a^a f(x) \, dx = 0 $$

$$\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx $$

Aditividad respecto al intervalo:

para cualquier $c \in [a, b] $:

$$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx $$

Ejemplo:

Las propiedades básicas se comprueban de inmediato: $\int_1^1 x^2 \, dx = 0 $ y $\int_0^1 x^2 \, dx = -\int_1^0 x^2 \, dx $

Ejemplo 1: Polinomio definido

Calcula $\int_1^3 (3x^2 - 2x + 4) \, dx $

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular una primitiva del integrando.

A continuación aplicaremos la regla de Barrow evaluando la primitiva en los límites.

Para terminar restaremos los valores obtenidos.

PASO 1

Cálculo de una primitiva.

$$F(x) = x^3 - x^2 + 4x $$

PASO 2

Aplicación de la regla de Barrow.

$$\int_1^3 (3x^2 - 2x + 4) \, dx = [x^3 - x^2 + 4x]_1^3 $$

$$= (3^3 - 3^2 + 4 \cdot 3) - (1^3 - 1^2 + 4 \cdot 1) = (27 - 9 + 12) - (1 - 1 + 4) = 30 - 4 = 26 $$

Conclusión

$$\int_1^3 (3x^2 - 2x + 4) \, dx = 26 $$

Ejemplo 2: Integral trigonométrica definida

Calcula $\int_0^{\pi/2} \operatorname{sen}(2x) \, dx $

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular una primitiva del integrando.

A continuación aplicaremos la regla de Barrow.

Para terminar operaremos con los valores trigonométricos conocidos.

PASO 1

Cálculo de una primitiva.

$$F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x) $$

PASO 2

Aplicación de la regla de Barrow.

$$\int_0^{\pi/2} \operatorname{sen}(2x) \, dx = \left[-\frac{1}{2}\cos(2x)\right]_0^{\pi/2} $$

$$= -\frac{1}{2}\cos(\pi) - \left(-\frac{1}{2}\cos(0)\right) = -\frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{2}(1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $$

Conclusión

$$\int_0^{\pi/2} \operatorname{sen}(2x) \, dx = 1 $$

Ejemplo 3: Cambio de límites en una sustitución

Calcula $\int_0^1 x\sqrt{x^2 + 3} \, dx $

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por hacer el cambio $t = x^2 + 3 $

A continuación transformaremos también los límites de integración a la nueva variable.

Para terminar integraremos en $t $ y aplicaremos Barrow.

PASO 1

Cambio de variable y nuevos límites.

$$t = x^2 + 3 \implies dt = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{dt}{2} $$

Si $x = 0 $ entonces $t = 3 $;

si $x = 1 $ entonces $t = 4 $

PASO 2

Integral en la nueva variable.

$$\int_3^4 \frac{1}{2}t^{1/2} \, dt = \frac{1}{2}\left[\frac{t^{3/2}}{3/2}\right]_3^4 = \frac{1}{3}[t^{3/2}]_3^4 $$

$$= \frac{1}{3}(4^{3/2} - 3^{3/2}) = \frac{1}{3}(8 - 3\sqrt{3}) = \frac{8}{3} - \sqrt{3} $$

Conclusión

$$\int_0^1 x\sqrt{x^2 + 3} \, dx = \frac{8}{3} - \sqrt{3} $$

Ejemplo 4: Integral definida de tipo logaritmo

Calcula $\int_0^1 \frac{e^x}{e^x + 1} \, dx $

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por reconocer que el numerador es la derivada del denominador.

A continuación escribiremos una primitiva de tipo logaritmo.

Para terminar aplicaremos la regla de Barrow y las propiedades de los logaritmos.

PASO 1

Cálculo de una primitiva.

Como $[e^x + 1]' = e^x $, la integral es de tipo logaritmo:

$$F(x) = \ln(e^x + 1) $$

PASO 2

Aplicación de la regla de Barrow.

$$\int_0^1 \frac{e^x}{e^x + 1} \, dx = [\ln(e^x + 1)]_0^1 = \ln(e^1 + 1) - \ln(e^0 + 1) $$

$$= \ln(e + 1) - \ln 2 = \ln\left(\frac{e + 1}{2}\right) $$

Conclusión

$$\int_0^1 \frac{e^x}{e^x + 1} \, dx = \ln\left(\frac{e + 1}{2}\right) $$

Ejemplo 5: Integral definida por partes

Calcula $\int_1^e \frac{\ln x}{x^2} \, dx $

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular la primitiva por el método de integración por partes, con $u = \ln x $

A continuación aplicaremos la regla de Barrow.

Para terminar operaremos el resultado.

PASO 1

Primitiva por partes.

Tomamos $u = \ln x \implies du = \frac{1}{x}dx $ y $$dv = \frac{1}{x^2}dx \implies v = -\frac{1}{x} $$:

$$\int \frac{\ln x}{x^2} \, dx = -\frac{\ln x}{x} - \int \left(-\frac{1}{x}\right)\frac{1}{x} \, dx = -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} $$

PASO 2

Aplicación de la regla de Barrow.

$$\int_1^e \frac{\ln x}{x^2} \, dx = \left[-\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x}\right]_1^e $$

$$= \left(-\frac{\ln e}{e} - \frac{1}{e}\right) - \left(-\frac{\ln 1}{1} - \frac{1}{1}\right) = \left(-\frac{1}{e} - \frac{1}{e}\right) - (0 - 1) = 1 - \frac{2}{e} $$

Conclusión

$$\int_1^e \frac{\ln x}{x^2} \, dx = 1 - \frac{2}{e} $$