3.12.4 Integracion de funciones racionales grado del numerador menor que el grado del denominador

Integración de fracciones racionales propias

Cuando el grado del numerador es estrictamente menor que el del denominador ($$\operatorname{grad}(P) < \operatorname{grad}(Q) $$), la fracción es propia y se integra descomponiéndola en fracciones simples.

Los términos $\frac{A}{x - a} $ dan lugar a logaritmos neperianos: $A\ln|x - a| $

Los términos $\frac{B}{(x - a)^k} $ con $k \ge 2 $ dan lugar a potencias: $\frac{B}{(1 - k)(x - a)^{k-1}} $

📝 Ejemplo:

Descomponiendo en fracciones simples: $$\int \frac{dx}{(x-1)(x-2)} = \int \left(-\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2}\right) dx = -\ln|x-1| + \ln|x-2| + C $$

Términos con factores cuadráticos irreducibles

Los términos $\frac{Mx + N}{x^2 + px + q} $ se descomponen en dos partes: una logarítmica, ajustando la derivada del denominador en el numerador, y una arcotangente, completando cuadrados en el denominador.

$$\int \frac{Mx + N}{x^2 + px + q} \, dx = \text{(parte logarítmica)} + \text{(parte arcotangente)} $$

📝 Ejemplo:

El denominador $x^2 + 1 $ es irreducible sobre $\mathbb{R} $ y el término es directamente de tipo arcotangente: $\int \frac{dx}{x^2 + 1} = \arctan x + C $

📝 Ejemplo 1: Raíces reales simples

Calcula $\int \frac{3x + 1}{x^2 - 5x + 6} \, dx $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por factorizar el denominador.

A continuación descompondremos la fracción en fracciones simples.

Para terminar integraremos cada término como un logaritmo.

👉 PASO 1

Factorización y descomposición.

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) $$

$$\frac{3x + 1}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 3} \implies 3x + 1 = A(x - 3) + B(x - 2) $$

Para $x = 2 $: $7 = -A \implies A = -7 $

Para $x = 3 $: $10 = B \implies B = 10 $

👉 PASO 2

Integración de las fracciones simples.

$$\int \left(\frac{-7}{x - 2} + \frac{10}{x - 3}\right) \, dx = -7\ln|x - 2| + 10\ln|x - 3| + C $$

✅ Conclusión

$$\int \frac{3x + 1}{x^2 - 5x + 6} \, dx = -7\ln|x - 2| + 10\ln|x - 3| + C $$

📝 Ejemplo 2: Raíz real doble

Calcula $\int \frac{x - 1}{(x + 2)^2} \, dx $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por descomponer la fracción según el caso de raíz doble.

A continuación determinaremos los coeficientes.

Para terminar integraremos el logaritmo y la potencia resultantes.

👉 PASO 1

Descomposición y coeficientes.

$$\frac{x - 1}{(x + 2)^2} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{(x + 2)^2} \implies x - 1 = A(x + 2) + B $$

Para $x = -2 $: $-3 = B \implies B = -3 $

Igualando coeficientes de $x $: $1 = A \implies A = 1 $

👉 PASO 2

Integración.

$$\int \left(\frac{1}{x + 2} - \frac{3}{(x + 2)^2}\right) \, dx = \ln|x + 2| + \frac{3}{x + 2} + C $$

✅ Conclusión

$$\int \frac{x - 1}{(x + 2)^2} \, dx = \ln|x + 2| + \frac{3}{x + 2} + C $$

📝 Ejemplo 3: Factor cuadrático irreducible

Calcula $\int \frac{2x + 3}{x^2 + 4} \, dx $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por separar la fracción en una parte logarítmica y una parte arcotangente.

A continuación integraremos cada parte con su fórmula.

Para terminar reuniremos los resultados.

👉 PASO 1

Separación en parte logarítmica y parte arcotangente.

$$\int \frac{2x + 3}{x^2 + 4} \, dx = \int \frac{2x}{x^2 + 4} \, dx + \int \frac{3}{x^2 + 4} \, dx $$

👉 PASO 2

Integración de cada parte.

La primera es de tipo logaritmo, pues $2x $ es la derivada de $x^2 + 4 $:

$$\int \frac{2x}{x^2 + 4} \, dx = \ln(x^2 + 4) $$

La segunda es de tipo arcotangente con $a = 2 $:

$$\int \frac{3}{x^2 + 4} \, dx = 3 \cdot \frac{1}{2}\ arctan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{3}{2}\ arctan\left(\frac{x}{2}\right) $$

✅ Conclusión

$$\int \frac{2x + 3}{x^2 + 4} \, dx = \ln(x^2 + 4) + \frac{3}{2}\ arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C $$

📝 Ejemplo 4: Cuadrático irreducible con completación de cuadrados

Calcula $\int \frac{2x + 1}{x^2 + 2x + 5} \, dx $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir el numerador como combinación de la derivada del denominador más una constante.

A continuación separaremos la parte logarítmica de la parte arcotangente.

Para terminar completaremos cuadrados en el denominador de la segunda parte.

👉 PASO 1

Descomposición del numerador.

La derivada del denominador es $2x + 2 $

Escribimos $2x + 1 = (2x + 2) - 1 $:

$$\int \frac{2x + 1}{x^2 + 2x + 5} \, dx = \int \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 5} \, dx - \int \frac{1}{x^2 + 2x + 5} \, dx $$

👉 PASO 2

Parte logarítmica y completación de cuadrados.

$$\int \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 5} \, dx = \ln(x^2 + 2x + 5) $$

Completamos cuadrados: $x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4 $, luego:

$$\int \frac{1}{(x + 1)^2 + 2^2} \, dx = \frac{1}{2}\ arctan\left(\frac{x + 1}{2}\right) $$

✅ Conclusión

$$\int \frac{2x + 1}{x^2 + 2x + 5} \, dx = \ln(x^2 + 2x + 5) - \frac{1}{2}\ arctan\left(\frac{x + 1}{2}\right) + C $$

📝 Ejemplo 5: Cuadrático irreducible general

Calcula $\int \frac{x + 3}{x^2 + 4x + 8} \, dx $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir el numerador como combinación de la derivada del denominador más una constante.

A continuación separaremos la parte logarítmica de la parte arcotangente.

Para terminar completaremos cuadrados e integraremos.

👉 PASO 1

Descomposición del numerador.

La derivada del denominador es $2x + 4 $

Escribimos $x + 3 = \frac{1}{2}(2x + 4) + 1 $:

$$\int \frac{x + 3}{x^2 + 4x + 8} \, dx = \frac{1}{2}\int \frac{2x + 4}{x^2 + 4x + 8} \, dx + \int \frac{1}{x^2 + 4x + 8} \, dx $$

👉 PASO 2

Parte logarítmica.

$$\frac{1}{2}\ln(x^2 + 4x + 8) $$

👉 PASO 3

Parte arcotangente con cuadrados completos.

Completamos cuadrados: $x^2 + 4x + 8 = (x + 2)^2 + 4 $, luego:

$$\int \frac{1}{(x + 2)^2 + 2^2} \, dx = \frac{1}{2}\ arctan\left(\frac{x + 2}{2}\right) $$

✅ Conclusión

$$\int \frac{x + 3}{x^2 + 4x + 8} \, dx = \frac{1}{2}\ln(x^2 + 4x + 8) + \frac{1}{2}\ arctan\left(\frac{x + 2}{2}\right) + C $$