3.12.3 Descomposicion en fracciones simples

Objetivo del método de fracciones simples

Dada una función racional propia $\frac{P(x)}{Q(x)} $, es decir, con $$\operatorname{grad}(P) < \operatorname{grad}(Q) $$, el método consiste en descomponerla en una suma de fracciones más sencillas, llamadas fracciones simples, que ya sabemos integrar:

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = \text{(suma de fracciones simples)} $$

El primer paso es siempre factorizar completamente el denominador $Q(x) $

Ejemplo:

La descomposición $$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} $$ da $1 = A(x-2) + B(x-1) $: con $x = 1 $ sale $A = -1 $ y con $x = 2 $ sale $B = 1 $

Casos de factorización del denominador

Caso 1: raíces reales simples, del tipo $(x - a)(x - b)\dots $

A cada factor le corresponde una fracción $\frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b} + \dots $

Caso 2: raíces reales múltiples, del tipo $(x - a)^k $

Le corresponden $k $ fracciones: $$\frac{A_1}{x - a} + \frac{A_2}{(x - a)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x - a)^k} $$

Caso 3: factores cuadráticos irreducibles simples, del tipo $x^2 + px + q $ (con discriminante negativo).

Le corresponde una fracción $\frac{Mx + N}{x^2 + px + q} $

Los coeficientes se determinan igualando los numeradores y dando valores a $x $ o igualando coeficientes.

Ejemplo:

Según la factorización del denominador: a una raíz doble $(x - 1)^2 $ le corresponden $\frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} $, y a un factor cuadrático irreducible $x^2 + 1 $ le corresponde $\frac{Mx + N}{x^2 + 1} $

Ejemplo 1: Raíces reales simples

Descompón en fracciones simples $\frac{5x - 1}{x^2 - x - 2} $

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por factorizar el denominador.

A continuación plantearemos la descomposición con dos fracciones simples.

Para terminar determinaremos los coeficientes dando valores a $x $

PASO 1

Factorización del denominador.

$$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) $$

PASO 2

Planteamiento de la descomposición.

$$\frac{5x - 1}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1} $$

Operando: $5x - 1 = A(x + 1) + B(x - 2) $

PASO 3

Determinación de los coeficientes.

Para $x = 2 $: $9 = 3A \implies A = 3 $

Para $x = -1 $: $-6 = -3B \implies B = 2 $

Conclusión

$$\frac{5x - 1}{x^2 - x - 2} = \frac{3}{x - 2} + \frac{2}{x + 1} $$

Ejemplo 2: Raíz real múltiple

Descompón en fracciones simples $\frac{3x + 1}{(x - 1)^2} $

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por plantear la descomposición correspondiente a una raíz doble.

A continuación igualaremos los numeradores.

Para terminar determinaremos los coeficientes combinando un valor de $x $ con la igualación de coeficientes.

PASO 1

Planteamiento de la descomposición.

$$\frac{3x + 1}{(x - 1)^2} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} $$

Operando: $3x + 1 = A(x - 1) + B $

PASO 2

Determinación de los coeficientes.

Para $x = 1 $: $4 = B \implies B = 4 $

Igualando los coeficientes de $x $: $3 = A \implies A = 3 $

Conclusión

$$\frac{3x + 1}{(x - 1)^2} = \frac{3}{x - 1} + \frac{4}{(x - 1)^2} $$

Ejemplo 3: Factor cuadrático irreducible

Descompón en fracciones simples $\frac{x + 2}{x(x^2 + 1)} $

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por plantear la descomposición con una fracción para la raíz simple y otra para el factor cuadrático irreducible.

A continuación igualaremos los numeradores.

Para terminar determinaremos los coeficientes combinando un valor de $x $ con la igualación de coeficientes.

PASO 1

Planteamiento de la descomposición.

$$\frac{x + 2}{x(x^2 + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1} $$

Operando: $x + 2 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x $

PASO 2

Determinación de los coeficientes.

Para $x = 0 $: $2 = A \implies A = 2 $

Igualando los coeficientes de $x^2 $: $0 = A + B \implies B = -2 $

Igualando los coeficientes de $x $: $1 = C \implies C = 1 $

Conclusión

$$\frac{x + 2}{x(x^2 + 1)} = \frac{2}{x} + \frac{-2x + 1}{x^2 + 1} $$

Ejemplo 4: Raíz triple

Descompón en fracciones simples $\frac{2x + 3}{(x - 1)^3} $

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por plantear la descomposición correspondiente a una raíz triple.

A continuación igualaremos los numeradores.

Para terminar determinaremos los coeficientes dando un valor a $x $ e igualando coeficientes.

PASO 1

Planteamiento de la descomposición.

$$\frac{2x + 3}{(x - 1)^3} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{C}{(x - 1)^3} $$

Operando: $2x + 3 = A(x - 1)^2 + B(x - 1) + C $

PASO 2

Determinación de los coeficientes.

Para $x = 1 $: $5 = C \implies C = 5 $

Igualando los coeficientes de $x^2 $: $0 = A \implies A = 0 $

Igualando los coeficientes de $x $: $2 = -2A + B \implies B = 2 $

Conclusión

$$\frac{2x + 3}{(x - 1)^3} = \frac{2}{(x - 1)^2} + \frac{5}{(x - 1)^3} $$

Ejemplo 5: Raíz doble combinada con raíz simple

Descompón en fracciones simples $\frac{x^2 + 1}{x^3 + x^2} $

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por factorizar el denominador.

A continuación plantearemos la descomposición correspondiente.

Para terminar determinaremos los coeficientes.

PASO 1

Factorización y planteamiento.

$$x^3 + x^2 = x^2(x + 1) $$

$$\frac{x^2 + 1}{x^2(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x + 1} $$

Operando: $x^2 + 1 = Ax(x + 1) + B(x + 1) + Cx^2 $

PASO 2

Determinación de los coeficientes.

Para $x = 0 $: $1 = B \implies B = 1 $

Para $x = -1 $: $2 = C \implies C = 2 $

Igualando los coeficientes de $x $: $0 = A + B \implies A = -1 $

Conclusión

$$\frac{x^2 + 1}{x^3 + x^2} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x + 1} $$