3.11.4 Integrales logaritmicas

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Tipo logaritmo inmediato

Para la potencia $n = -1 $, la regla de la potencia no es aplicable.

Su integral conduce al logaritmo neperiano:

$$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \qquad (x \ne 0) $$

El valor absoluto garantiza que el argumento del logaritmo sea siempre positivo.

📝 Ejemplo:

Para el exponente $n = -1 $: $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C $

Forma compuesta (cociente con la derivada en el numerador)

Siempre que el numerador de una fracción sea (o pueda convertirse, ajustando una constante) en la derivada del denominador:

$$\int \frac{u'(x)}{u(x)} \, dx = \ln|u(x)| + C $$

Pista de identificación:

si el numerador tiene exactamente un grado menos que el denominador, la integral suele ser de tipo logarítmico, pudiendo requerir el ajuste por una constante numérica.

📝 Ejemplo:

El numerador es la derivada del denominador: $$\int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx = \ln(x^2 + 1) + C $$

📝 Ejemplo 1: Denominador lineal

Calcula $\int \frac{1}{3x + 2} \, dx $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar el denominador $3x + 2 $

A continuación multiplicaremos y dividiremos por $3 $ para completar la derivada en el numerador.

Para terminar aplicaremos la fórmula del tipo logaritmo.

👉 PASO 1

Derivada del denominador y ajuste.

Como $[3x + 2]' = 3 $, multiplicamos y dividimos por $3 $:

$$\int \frac{1}{3x + 2} \, dx = \frac{1}{3}\int \frac{3}{3x + 2} \, dx $$

👉 PASO 2

Aplicación de la fórmula.

$$\frac{1}{3}\ln|3x + 2| + C $$

✅ Conclusión

$$\int \frac{1}{3x + 2} \, dx = \frac{1}{3}\ln|3x + 2| + C $$

📝 Ejemplo 2: Denominador cuadrático con derivada exacta

Calcula $\int \frac{2x - 3}{x^2 - 3x + 5} \, dx $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar el denominador.

A continuación comprobaremos que el numerador coincide exactamente con esa derivada.

Para terminar aplicaremos directamente la fórmula del tipo logaritmo.

👉 PASO 1

Derivada del denominador.

$[x^2 - 3x + 5]' = 2x - 3 $, que es exactamente el numerador.

No hace falta ningún ajuste.

👉 PASO 2

Aplicación directa de la fórmula.

$$\int \frac{2x - 3}{x^2 - 3x + 5} \, dx = \ln|x^2 - 3x + 5| + C $$

✅ Conclusión

$$\int \frac{2x - 3}{x^2 - 3x + 5} \, dx = \ln|x^2 - 3x + 5| + C $$

📝 Ejemplo 3: Integral de la tangente

Calcula $\int \tan x \, dx $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la tangente como cociente de seno entre coseno.

A continuación reconoceremos el tipo logaritmo con un cambio de signo.

Para terminar expresaremos el resultado también con la secante.

👉 PASO 1

Escritura como cociente.

$$\int \tan x \, dx = \int \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} \, dx $$

👉 PASO 2

Reconocimiento del tipo logaritmo.

Como $[\cos x]' = -\operatorname{sen} x $, sacamos un signo menos para completar la derivada:

$$\int \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} \, dx = -\int \frac{-\operatorname{sen} x}{\cos x} \, dx = -\ln|\cos x| + C $$

👉 PASO 3

Expresión con la secante.

Como $$-\ln|\cos x| = \ln\left|\frac{1}{\cos x}\right| = \ln|\sec x| $$

✅ Conclusión

$$\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C $$

📝 Ejemplo 4: Cociente con ajuste numérico

Calcula $\int \frac{x^2 + 1}{x^3 + 3x} \, dx $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar el denominador $x^3 + 3x $

A continuación ajustaremos la constante para completar la derivada en el numerador.

Para terminar aplicaremos la fórmula del tipo logaritmo.

👉 PASO 1

Derivada del denominador y ajuste.

$$[x^3 + 3x]' = 3x^2 + 3 = 3(x^2 + 1) $$

El numerador difiere solo en el factor $3 $, así que multiplicamos y dividimos por $3 $:

$$\int \frac{x^2 + 1}{x^3 + 3x} \, dx = \frac{1}{3}\int \frac{3x^2 + 3}{x^3 + 3x} \, dx $$

👉 PASO 2

Aplicación de la fórmula.

$$\frac{1}{3}\ln|x^3 + 3x| + C $$

✅ Conclusión

$$\int \frac{x^2 + 1}{x^3 + 3x} \, dx = \frac{1}{3}\ln|x^3 + 3x| + C $$

📝 Ejemplo 5: Tipo logaritmo con exponencial

Calcula $\int \frac{e^x + 1}{e^x + x} \, dx $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar el denominador $e^x + x $

A continuación comprobaremos que coincide con el numerador.

Para terminar aplicaremos la fórmula del tipo logaritmo.

👉 PASO 1

Derivada del denominador.

$[e^x + x]' = e^x + 1 $, que coincide exactamente con el numerador.

👉 PASO 2

Aplicación directa de la fórmula.

$$\int \frac{e^x + 1}{e^x + x} \, dx = \ln|e^x + x| + C $$

✅ Conclusión

$$\int \frac{e^x + 1}{e^x + x} \, dx = \ln|e^x + x| + C $$