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3.11.2 Propiedades de las integrales

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Linealidad de la integral indefinida

La integración es un operador lineal que satisface dos propiedades fundamentales.

Integral de la suma o resta: la integral de una suma o resta de funciones es la suma o resta de sus integrales:

$$\int [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx $$

Extracción de constantes: una constante multiplicativa puede salir fuera del signo de integración:

$$\int k \cdot f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx \qquad (k \in \mathbb{R}) $$

Gracias a estas propiedades, cualquier combinación lineal de funciones elementales se integra término a término.

Ejemplo:

Por linealidad: $$\int (3x^2 + 2x) \, dx = 3\frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} + C = x^3 + x^2 + C $$

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La derivación y la integración como operaciones inversas

La derivación y la integración son operaciones mutuamente inversas, es decir, se anulan entre sí:

$$\frac{d}{dx}\left[\int f(x) \, dx\right] = f(x) $$
$$\int \left[\frac{d}{dx} f(x)\right] \, dx = \int f'(x) \, dx = f(x) + C $$
Ejemplo:

La derivación deshace la integración: $$\frac{d}{dx}\left[\int \operatorname{sen} x \, dx\right] = \operatorname{sen} x $$

Ejemplo 1: Aplicación de la linealidad en un polinomio

Calcula \(\int (5x^3 - 4x^2 + 7) \, dx \)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por separar la integral en la suma de las integrales de cada sumando.

A continuación extraeremos las constantes multiplicativas de cada integral.

Para terminar integraremos cada término elemental y sumaremos una única constante.

PASO 1

Separación y extracción de constantes.

$$\int (5x^3 - 4x^2 + 7) \, dx = 5\int x^3 \, dx - 4\int x^2 \, dx + 7\int 1 \, dx $$
PASO 2

Integración término a término.

$$5 \cdot \frac{x^4}{4} - 4 \cdot \frac{x^3}{3} + 7x + C = \frac{5}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + 7x + C $$
Conclusión

$$\int (5x^3 - 4x^2 + 7) \, dx = \frac{5}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + 7x + C $$

Ejemplo 2: Descomposición de un cociente antes de integrar

Calcula \(\int \frac{3x^4 - 2x^2 + 5}{x^2} \, dx \)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por dividir término a término el numerador entre el denominador para obtener sumandos integrables.

A continuación aplicaremos la linealidad.

Para terminar integraremos cada término.

PASO 1

División término a término.

$$\frac{3x^4 - 2x^2 + 5}{x^2} = 3x^2 - 2 + \frac{5}{x^2} $$
PASO 2

Integración de cada sumando.

$$\int \left(3x^2 - 2 + 5x^{-2}\right) \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2x + 5 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C $$
$$= x^3 - 2x - \frac{5}{x} + C $$
Conclusión

$$\int \frac{3x^4 - 2x^2 + 5}{x^2} \, dx = x^3 - 2x - \frac{5}{x} + C $$

Ejemplo 3: Combinación de funciones elementales

Calcula $$\int \left(3e^x - 2\operatorname{sen} x + \frac{4}{x}\right) \, dx $$

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por separar la integral entres integrales y extraer las constantes.

A continuación integraremos cada función elemental con su regla correspondiente.

Para terminar reuniremos los resultados con una única constante.

PASO 1

Separación de la integral.

$$\int \left(3e^x - 2\operatorname{sen} x + \frac{4}{x}\right) \, dx = 3\int e^x \, dx - 2\int \operatorname{sen} x \, dx + 4\int \frac{1}{x} \, dx $$
PASO 2

Integración de cada término.

La exponencial se integra en sí misma, el seno da menos coseno y uno partido por equis da el logaritmo neperiano:

$$3e^x - 2(-\cos x) + 4\ln|x| + C = 3e^x + 2\cos x + 4\ln|x| + C $$
Conclusión

$$\int \left(3e^x - 2\operatorname{sen} x + \frac{4}{x}\right) \, dx = 3e^x + 2\cos x + 4\ln|x| + C $$

Ejemplo 4: Cociente con desarrollo previo

Calcula \(\int \frac{(x^2 + 3)^2}{x} \, dx \)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por desarrollar el cuadrado del numerador y dividir entre \(x \)

A continuación aplicaremos la linealidad de la integral.

Para terminar integraremos cada término.

PASO 1

Desarrollo y división.

$$\frac{(x^2 + 3)^2}{x} = \frac{x^4 + 6x^2 + 9}{x} = x^3 + 6x + \frac{9}{x} $$
PASO 2

Integración término a término.

$$\int \left(x^3 + 6x + \frac{9}{x}\right) \, dx = \frac{x^4}{4} + 3x^2 + 9\ln|x| + C $$
Conclusión

$$\int \frac{(x^2 + 3)^2}{x} \, dx = \frac{x^4}{4} + 3x^2 + 9\ln|x| + C $$

Ejemplo 5: Cuadrado de una diferencia trigonométrica

Calcula \(\int (\operatorname{sen} x - \cos x)^2 \, dx \)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por desarrollar el cuadrado usando la identidad fundamental \(\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1 \) y la fórmula del seno del ángulo doble.

A continuación integraremos el resultado.

Para terminar comprobaremos el resultado derivando.

PASO 1

Desarrollo del cuadrado.

$$(\operatorname{sen} x - \cos x)^2 = \operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x - 2\operatorname{sen} x \cos x = 1 - \operatorname{sen}(2x) $$
PASO 2

Integración.

$$\int (1 - \operatorname{sen}(2x)) \, dx = x + \frac{\cos(2x)}{2} + C $$
PASO 3

Comprobación.

Derivando: $$\left[x + \frac{\cos(2x)}{2}\right]' = 1 - \operatorname{sen}(2x) $$, que coincide con el integrando desarrollado.

Conclusión

$$\int (\operatorname{sen} x - \cos x)^2 \, dx = x + \frac{\cos(2x)}{2} + C $$