3.10.1 Teorema de rolle
1. Teorema de Rolle Sea \(f(x)\) una función que cumple las tres hipótesis siguientes: es continua en el intervalo cerrado \([a, b]\), es derivable en el intervalo abierto \((a, b)\) y toma el mismo valor en los extremos, es decir, \(f(a) = f(b)\) Entonces la tesis afirma que existe al menos un punto \(c \in (a, b)\) tal que la derivada se anula en él: \(f'(c) = 0\) La fórmula general del teorema es, por tanto: continuidad en \([a, b]\), derivabilidad en \((a, b)\) e igualdad \(f(a) = f(b)\), de donde existe \(c \in (a, b)\) con \(f'(c) = 0\) Ejemplo: La función \(f(x) = x^2 - 4\) es continua en \([-2, 2]\), derivable en \((-2, 2)\) y \(f(-2) = f(2) = 0\): existe \(c = 0\) con \(f'(c) = 0\) 2. Interpretación geométrica y aplicaciones Geométricamente, el teorema garantiza que en al menos un punto intermedio \(c\) la recta tangente a la gráfica es horizontal, es decir, paralela al eje de abscisas, pues su pendiente es \(f'(c) = 0\) Aplicación fundamental: entre dos raíces reales consecutivas de una función derivable existe al menos una raíz de su derivada. En efecto, si \(f(x_1) = f(x_2) = 0\), por Rolle existe \(c \in (x_1, x_2)\) con \(f'(c) = 0\) Esto permite acotar el número máximo de raíces reales de un polinomio. Ejemplo: Entre las dos raíces \(-2\) y \(2\) de \(f(x) = x^2 - 4\) hay un punto con tangente horizontal: en \(c = 0\) la pendiente es \(f'(0) = 0\) Ejemplo 1: Comprobación del teorema en un polinomio Comprobar el teorema de Rolle para \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) en el intervalo \([1, 3]\) y hallar el punto \(c\)
Para resolver este ejemplo empezaremos por comprobar las tres hipótesis del teorema de Rolle. A continuación calcularemos la derivada e igualaremos a cero para hallar el punto \(c\)
Comprobación de las tres hipótesis.
Al ser polinómica, \(f(x)\) es continua en el intervalo cerrado \([1, 3]\) y derivable en el abierto \((1, 3)\) Calculamos los valores en los extremos: \(f(1) = 1 - 4 + 3 = 0\) y \(f(3) = 9 - 12 + 3 = 0\) Por tanto \(f(1) = f(3)\) y se cumplen las tres hipótesis.
Cálculo del punto \(c\)
Derivamos: \(f'(x) = 2x - 4\) Igualamos a cero y despejamos: \(2x - 4 = 0 \rightarrow x = 2\) Como \(2 \in (1, 3)\), el punto garantizado por el teorema es \(c = 2\)
Se cumplen las tres hipótesis del teorema y el punto buscado es \(c = 2\)
Hallar el punto de la parábola \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) donde la tangente es horizontal e interpretar el resultado con el teorema de Rolle.
Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular los puntos de corte de la parábola con el eje de abscisas. A continuación hallaremos el punto de tangente horizontal derivando e igualando a cero.
Puntos de corte con el eje de abscisas.
Resolvemos \(x^2 - 4x + 3 = 0\): el discriminante vale \(16 - 12 = 4\) y las raíces son \(x = \frac{4 \pm 2}{2}\), es decir, \(x = 1\) y \(x = 3\) Como se cumplen las hipótesis de Rolle en \([1, 3]\), existe \(c \in (1, 3)\) con tangente horizontal.
Cálculo del punto de tangente horizontal.
La pendiente de la tangente viene dada por la derivada: \(f'(x) = 2x - 4\) Igualando a cero: \(2x - 4 = 0 \rightarrow x = 2\) El punto es \((2, f(2)) ,\ \text{con}\ f(2) = 4 - 8 + 3 = -1\)
La tangente es horizontal en el punto \((2, -1)\), que es el vértice de la parábola y el punto \(c\) garantizado por el teorema de Rolle.
Demostrar que la ecuación \(x^3 + 3x - 5 = 0\) tiene una única raíz real.
Para resolver este ejemplo empezaremos por garantizar la existencia de una raíz con el teorema de Bolzano. A continuación supondremos que existen dos raíces distintas y aplicaremos el teorema de Rolle para llegar a una contradicción.
Existencia de la raíz (Bolzano).
Sea \(f(x) = x^3 + 3x - 5\), continua en todo \(\mathbb{R}\) Calculamos: \(f(1) = 1 + 3 - 5 = -1 < 0\) y \(f(2) = 8 + 6 - 5 = 9 > 0\) Por Bolzano existe \(c_1 \in (1, 2)\) con \(f(c_1) = 0\)
Unicidad por reducción al absurdo (Rolle).
Supongamos que existen dos raíces distintas \(x_1 < x_2\), de modo que \(f(x_1) = f(x_2) = 0\) Como \(f\) es continua en \([x_1, x_2]\) y derivable en \((x_1, x_2)\), por Rolle existe \(\xi \in (x_1, x_2)\) con \(f'(\xi) = 0\) Pero \(f'(x) = 3x^2 + 3 \geq 3 > 0\) para todo \(x \in \mathbb{R}\), lo que es una contradicción.
La ecuación tiene una única raíz real, situada en el intervalo \((1, 2)\)
Hallar \(k\) para que \(f(x) = x^3 - kx\) cumpla el teorema de Rolle en \([0, 2]\) y hallar los puntos \(c\)
Para resolver este ejemplo empezaremos por imponer la única hipótesis no automática, \(f(0) = f(2)\), para despejar el parámetro \(k\) A continuación derivaremos y hallaremos los puntos con derivada nula dentro del intervalo abierto.
Cálculo del parámetro \(k\)
Continuidad y derivabilidad garantizadas por ser polinómica. Calculamos \(f(0) = 0\) y \(f(2) = 8 - 2k\) Imponiendo \(f(0) = f(2)\): \(8 - 2k = 0 \rightarrow 2k = 8 \rightarrow k = 4\)
Puntos con derivada nula.
Con \(k = 4\), la derivada es \(f'(x) = 3x^2 - 4\) Igualando a cero: \(3x^2 - 4 = 0 \rightarrow x^2 = \frac{4}{3} \rightarrow x = \pm\frac{2}{\sqrt{3} }= \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}\) El único punto del intervalo abierto \((0, 2)\) es \(c = \frac{2\sqrt{3}}{3}\)
Con \(k = 4\) se cumplen las hipótesis del teorema y el punto es \(c = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1,155\)
Demostrar que la ecuación \(e^x = x + 2\) tiene exactamente dos soluciones reales.
Para resolver este ejemplo empezaremos por definir la función \(g(x) = e^x - x - 2\) y usar el teorema de Rolle por reducción al absurdo para demostrar que no puede tener tres ceros. A continuación garantizaremos la existencia de dos raíces con el teorema de Bolzano.
Como mucho dos ceros (Rolle por contradicción).
Si \(g(x)\) tuviera tres ceros distintos \(x_1 < x_2 < x_3\), Rolle aplicado en \([x_1, x_2]\) y en \([x_2, x_3]\) daría dos puntos distintos con derivada nula. Pero \(g'(x) = e^x - 1\) y la ecuación \(g'(x) = 0 \rightarrow e^x = 1 \rightarrow x = 0\) tiene una única solución, contradicción. Luego \(g\) tiene como mucho dos ceros.
Existencia de dos ceros (Bolzano).
Calculamos: \(g(-2) = e^{-2} > 0\), \(g(0) = 1 - 0 - 2 = -1 < 0\) y \(g(2) = e^2 - 4 \approx 3,389 > 0\) Por Bolzano existe una raíz en \((-2, 0)\) y otra en \((0, 2)\)
La ecuación tiene exactamente dos soluciones reales, una en el intervalo \((-2, 0)\) y otra en \((0, 2)\)