3.1.9 Dominio de una funcion logaritmos
1. Definición y condición de existencia del logaritmo Dada una función logarítmica \(f(x) = \log_a(g(x))\) con base \(a > 0, a \neq 1\), el logaritmo solo está definido para números estrictamente positivos: el logaritmo de cero y el de números negativos no existen en \(\mathbb{R}\) Por tanto: \(\text{Dom}(\log_a(g(x))) = \{ x \in \text{Dom}(g) \mid g(x) > 0 \}\) Obsérvese la diferencia con las raíces de índice par: aquí la desigualdad es estricta, \(g(x) > 0\), porque \(\log_a(0)\) no existe. Ejemplo: La función \(f(x) = \ln(x - 1)\) exige argumento estrictamente positivo: \(x - 1 > 0\), luego \(\text{Dom}(f) = (1, +\infty)\) 2. Resolución de las inecuaciones logarítmicas En la práctica se resuelve la inecuación \(g(x) > 0\) con las técnicas habituales: despeje directo si \(g\) es lineal, estudio del signo si es cuadrática o un cociente, y atención a los puntos donde \(g\) se anula, que siempre quedan excluidos. El dominio final es la intersección de esta solución con las restricciones propias de \(g\) Ejemplo: Para \(f(x) = \ln(x^2 - 1)\) se resuelve \(x^2 - 1 > 0\): \(\text{Dom}(f) = (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)\) Ejemplo 1: Logaritmo neperiano de un binomio lineal Halla el dominio de la función \(f(x) = \ln(2x - 6)\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por imponer la condición de argumento estrictamente positivo. A continuación despejaremos \(x\) de la inecuación. Para terminar escribiremos el dominio como intervalo.
Planteamiento de la inecuación.
Resolución.
Sumamos \(6\) en ambos miembros:
Dividimos por \(2\), que es positivo:
$$\text{Dom}(f) = (3, +\infty)$$
Halla el dominio de la función \(f(x) = \ln(x^2 - 5x + 4)\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por imponer la condición de argumento estrictamente positivo. A continuación factorizaremos el trinomio y estudiaremos su signo. Para terminar escribiremos el dominio como unión de intervalos.
Planteamiento y factorización.
Buscamos dos números que multipliquen \(4\) y sumen \(-5\): son \(-1\) y \(-4\) Factorizamos:
Estudio del signo.
La parábola abre hacia arriba y sus raíces son \(x = 1\) y \(x = 4\), luego es estrictamente positiva fuera de ellas:
$$\text{Dom}(f) = (-\infty, 1) \cup (4, +\infty)$$
Halla el dominio de la función \(f(x) = \ln\left(\frac{x + 1}{x - 4}\right)\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por imponer que el argumento del logaritmo sea estrictamente positivo. A continuación estudiaremos el signo de la fracción, recordando que el denominador no puede anularse. Para terminar escribiremos el dominio.
Planteamiento.
La fracción es positiva cuando numerador y denominador tienen el mismo signo estricto.
Estudio del signo.
Si ambos son positivos: \(x + 1 > 0\) y \(x - 4 > 0\), se obtiene \(x > 4\) Si ambos son negativos: \(x + 1 < 0\) y \(x - 4 < 0\), se obtiene \(x < -1\) El valor \(x = 4\) queda excluido por anular el denominador, y \(x = -1\) por anular el argumento del logaritmo.
$$\text{Dom}(f) = (-\infty, -1) \cup (4, +\infty)$$
Halla el dominio de la función \(f(x) = \ln|x - 2|\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por imponer la condición de argumento estrictamente positivo. A continuación usaremos la propiedad del valor absoluto, que es no negativo y solo se anula en un punto. Para terminar escribiremos el dominio.
Análisis del valor absoluto.
Se sabe que \(|x - 2| \ge 0\) para todo \(x\) real. La condición del logaritmo exige:
El valor absoluto solo se anula cuando su interior es cero:
El único punto a excluir es \(x = 2\), luego \(\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\}\)
Halla el dominio de la función \(f(x) = \ln\left((x - 1)^2\right)\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por imponer la condición de argumento estrictamente positivo. A continuación analizaremos el signo de un cuadrado perfecto. Para terminar escribiremos el dominio.
Análisis del cuadrado.
Todo cuadrado es no negativo: \((x - 1)^2 \ge 0\) para todo \(x\) real. La condición del logaritmo exige la desigualdad estricta:
Un cuadrado solo vale cero cuando su base es cero:
El único punto a excluir es \(x = 1\), luego \(\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}\)