3.1.7 Dominio de una funcion cocientes
Dominio de las funciones racionales
Dada una función cociente \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \), la división por cero no está definida en los números reales.
Por tanto, el dominio está formado por todos los reales excepto las raíces del denominador:
El procedimiento es siempre el mismo: se resuelve la ecuación \(Q(x) = 0 \) para identificar todos los puntos que hay que excluir, factorizando el denominador cuando sea necesario.
Para \(f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 4} \), el denominador se anula en \(x = 2 \) y \(x = -2 \): $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} $$
Cocientes con restricciones adicionales en el numerador
Si el numerador presenta restricciones propias, como raíces de índice par o logaritmos, el dominio final es la intersección del dominio del numerador con la condición \(Q(x) \neq 0 \)
Es decir, primero se exige que el numerador tenga sentido y después se quitan los ceros del denominador.
En \(f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 1} \) el numerador exige \(x \ge 0 \) y el denominador \(x \neq 1 \): \(\text{Dom}(f) = [0, 1) \cup (1, +\infty) \)
Halla el dominio de la función \(f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 5x + 6} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por igualar a cero el denominador.
A continuación factorizaremos la ecuación de segundo grado para hallar sus raíces.
Para terminar excluiremos dichas raíces de los números reales.
Resolución de la ecuación del denominador.
Buscamos dos números que multipliquen \(6 \) y sumen \(-5 \): son \(-2 \) y \(-3 \)
Factorizamos:
de donde:
Exclusión de las raíces.
El denominador se anula exactamente en esos dos puntos, que deben quitarse del dominio.
$$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{2, 3\} = (-\infty, 2) \cup (2, 3) \cup (3, +\infty) $$
Halla el dominio de la función \(f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 4} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear la ecuación del denominador.
A continuación analizaremos si tiene soluciones reales.
Para terminar concluiremos el dominio.
Análisis del denominador.
Un cuadrado nunca es negativo, luego esta ecuación no tiene solución real.
De hecho, \(x^2 + 4 > 0 \) para todo \(x \in \mathbb{R} \)
El denominador nunca se anula, luego \(\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \)
Halla el dominio de la función \(f(x) = \frac{3x - 1}{x^3 - 4x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por igualar a cero el denominador.
A continuación factorizaremos sacando factor común y usando la diferencia de cuadrados.
Para terminar excluiremos todas las raíces obtenidas.
Factorización del denominador.
Extraemos factor común \(x \):
Factorizamos la diferencia de cuadrados:
Las raíces que anulan el denominador son:
$$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2, 0, 2\} $$
Halla el dominio de la función \(f(x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{x^2 - 9} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por imponer la condición de la raíz del numerador.
A continuación hallaremos los ceros del denominador factorizándolo.
Para terminar intersectaremos la condición del numerador con la exclusión de dichos ceros.
Condición del numerador.
El radicando debe ser no negativo:
Ceros del denominador.
de donde:
El valor \(x = -3 \) ya queda fuera por la condición \(x \ge 1 \), pero \(x = 3 \) sí pertenece a \([1, +\infty) \) y debe excluirse.
$$\text{Dom}(f) = [1, 3) \cup (3, +\infty) $$
Halla el dominio de la función \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4} \) y simplifica la expresión.
Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar los ceros del denominador, que es un cuadrado perfecto.
A continuación simplificaremos la fracción factorizando numerador y denominador.
Para terminar observaremos que la simplificación no amplía el dominio.
Ceros del denominador.
El denominador es el cuadrado de un binomio:
Se trata de una raíz doble, pero sigue siendo un único punto a excluir.
Simplificación de la fracción.
Aunque la expresión simplificada \(\frac{x + 2}{x - 2} \) parece más sencilla, el punto \(x = 2 \) sigue excluido porque anulaba el denominador original.
El dominio es \(\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\} \)