3.1.1 Imagen o recorrido de una funcion
Definición formal de imagen o recorrido
Dada una función real de variable real \(f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), se llama imagen o recorrido de la función \(f \), y se denota \(\text{Im}(f) \) o \(\text{Rec}(f) \), al conjunto formado por todos los valores que toma la variable dependiente \(y \):
Geométricamente, el recorrido es la proyección ortogonal de la gráfica de la función sobre el eje vertical \(OY \): son las alturas que alcanza la curva.
La función \(f(x) = x^2 \) nunca toma valores negativos, y toma todos los no negativos: su imagen es \(\text{Im}(f) = [0, +\infty) \)
Cálculo analítico del recorrido
El primer método consiste en despejar la variable \(x \) en función de \(y \) a partir de la ecuación \(y = f(x) \)
Si al despejar se obtiene \(x = g(y) \), el recorrido es el conjunto de valores de \(y \) para los que dicha expresión tiene sentido, es decir, su dominio respecto de \(y \)
El segundo método utiliza los extremos absolutos y la continuidad de la función:
si \(f \) es continua en su dominio, su recorrido queda determinado por su valor mínimo absoluto, su valor máximo absoluto y el comportamiento en los extremos del dominio.
Despejando \(x \) en \(y = x^2 \) se obtiene \(x = \pm\sqrt{y} \), que solo tiene sentido para \(y \ge 0 \): el recorrido es \([0, +\infty) \)
Halla el recorrido de la función \(f(x) = \sqrt{x - 2} + 3 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la ecuación \(y = f(x) \)
A continuación despejaremos la raíz cuadrada dejándola aislada en un miembro.
Para terminar estudiaremos para qué valores de \(y \) existe solución real, y esos valores formarán el recorrido.
Planteamiento y despeje de la raíz.
Escribimos la ecuación con la expresión concreta de la función:
Restamos \(3 \) en ambos miembros para dejar sola la raíz:
Condición de existencia de la raíz.
La raíz cuadrada aritmética solo toma valores no negativos, luego el primer miembro no puede ser negativo:
de donde se deduce:
Para cada \(y \ge 3 \), elevando al cuadrado se obtiene \(x = (y - 3)^2 + 2 \), que es un número real válido.
El recorrido de la función es \(\text{Im}(f) = [3, +\infty) \)
Halla el recorrido de la función \(f(x) = x^2 - 4x + 5 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por completar cuadrados para escribir la función en forma de vértice.
A continuación identificaremos su mínimo absoluto en el vértice de la parábola.
Para terminar deduciremos el recorrido usando la continuidad de la función en todo \(\mathbb{R} \)
Completar el cuadrado.
Mínimo absoluto y recorrido.
Como \((x - 2)^2 \ge 0 \) para todo \(x \in \mathbb{R} \), se cumple que \(f(x) \ge 1 \), y el valor \(1 \) se alcanza en el vértice \(x = 2 \)
Al tratarse de una función continua en todo \(\mathbb{R} \), toma todos los valores desde su mínimo hacia arriba sin saltos.
El recorrido de la función es \(\text{Im}(f) = [1, +\infty) \)
Halla el recorrido de la función \(f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear la ecuación \(y = f(x) \)
A continuación despejaremos la variable \(x \) en función de \(y \), agrupando los términos que la contienen.
Para terminar analizaremos para qué valores de \(y \) el despeje es posible.
Despeje de x en función de y.
Partimos de la ecuación:
Multiplicamos ambos miembros por \((x - 3) \):
Desarrollamos el primer miembro:
Pasamos los términos con \(x \) a la izquierda y los demás a la derecha:
Extraemos factor común \(x \):
Análisis de la existencia de x.
Para despejar \(x \) debemos dividir por \((y - 2) \), lo cual solo es posible si \(y - 2 \neq 0 \), es decir, si \(y \neq 2 \):
Existe valor de \(x \) para todo \(y \) excepto para \(y = 2 \), luego el recorrido es \(\text{Im}(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\} \)
Halla el recorrido de la función \(f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear la ecuación \(y = f(x) \) y despejar \(x^2 \) en función de \(y \)
A continuación impondremos la condición de que un cuadrado nunca es negativo.
Para terminar resolveremos la inecuación resultante para \(y \)
Despeje de x al cuadrado en función de y.
Multiplicamos por el denominador:
Desarrollamos y agrupamos:
Extraemos factor común \(x^2 \):
Condición de existencia y resolución.
Despejamos \(x^2 \), teniendo en cuenta que \(y \neq 1 \):
Como \(x^2 \ge 0 \) para todo \(x \) real, exigimos:
La fracción es no negativa cuando numerador y denominador tienen el mismo signo.
Si \(1 - y > 0 \), es decir \(y < 1 \), se necesita \(y \ge 0 \)
Si \(1 - y < 0 \), se necesitaría \(y \le 0 \) junto con \(y > 1 \), lo cual es imposible.
Por tanto:
El recorrido de la función es \(\text{Im}(f) = [0, 1) \)
Halla el recorrido de la función \(f(x) = 1 - \sqrt{4 - x^2} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar entre qué valores se mueve el radicando dentro del dominio.
A continuación trasladaremos esos extremos a la raíz cuadrada y después a la función completa.
Para terminar usaremos la continuidad para concluir que se alcanzan todos los valores intermedios.
Rango del radicando.
El dominio exige \(4 - x^2 \ge 0 \), es decir \(x^2 \le 4 \), luego \(x \in [-2, 2] \)
En ese intervalo, \(x^2 \) varía entre \(0 \) y \(4 \), así que el radicando \(4 - x^2 \) varía entre \(4 \) y \(0 \)
Traslado de los extremos a la función.
Por tanto la raíz verifica:
Multiplicando por \(-1 \) se invierte el orden de la desigualdad:
Sumando \(1 \) en los tres miembros:
La función es continua en \([-2, 2] \) y toma todos los valores intermedios entre su mínimo \(-1 \) y su máximo \(1 \), luego \(\text{Im}(f) = [-1, 1] \)