2.9.1 Paralelismo, perpendicularidad y posición relativa de dos rectas
1. Paralelismo entre dos rectas Dadas dos rectas \(r\) y \(s\) con vectores directores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\), son paralelas si y solo si sus vectores directores son proporcionales, es decir, colineales: \(\vec{u} = k\vec{v} \iff \frac{u_1}{v_1} = \frac{u_2}{v_2} = \frac{u_3}{v_3} \iff \vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}\) Si además comparten un punto son coincidentes; si no comparten ningún punto son paralelas distintas. El paralelismo solo habla de la dirección: dos rectas paralelas pueden estar en el mismo plano o no, pero si son paralelas distintas siempre son coplanarias. Ejemplo: Las rectas de vectores directores \(\vec{u} = (2, 4, 6)\) y \(\vec{v} = (1, 2, 3)\) son paralelas, porque \(\vec{u} = 2\vec{v}\): sus componentes son proporcionales. 2. Perpendicularidad entre dos rectas Dos rectas son perpendiculares u ortogonales si sus vectores directores forman un ángulo de \(90^\circ\), es decir, si su producto escalar es nulo: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 = 0\) Distinción crucial en el espacio: dos rectas perpendiculares pueden ser secantes, si se cortan formando \(90^\circ\), o pueden cruzarse ortogonalmente sin llegar a cortarse. La perpendicularidad no implica intersección. Ejemplo: Las rectas de vectores directores \(\vec{u} = (1, 0, 0)\) y \(\vec{v} = (0, 1, 0)\) son perpendiculares, porque \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) Ejemplo 1: Rectas paralelas distintas Comprueba que las rectas \(r\) de vector director \(\vec{u} = (2, -1, 3)\) que pasa por \(A(1, 0, 1)\), y \(s\) de vector director \(\vec{v} = (4, -2, 6)\) que pasa por \(B(0, 1, 2)\), son paralelas distintas.
Para resolver este apartado empezaremos por comprobar la proporcionalidad de los vectores directores. A continuación verificaremos si comparten algún punto. Para terminar distinguiremos entre coincidentes y paralelas distintas.
Proporcionalidad de los vectores.
Como \(\vec{v} = (4, -2, 6) = 2(2, -1, 3) = 2\vec{u}\), los vectores son proporcionales y \(\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}\): las rectas son paralelas.
Punto común.
Si \(A(1, 0, 1)\) perteneciera a \(s\), existiría \(t\) con \((1, 0, 1) = (0, 1, 2) + t(4, -2, 6)\) De la primera coordenada \(4t = 1 \rightarrow t = \frac{1}{4}\), pero entonces \(y = 1 - 2\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2} \neq 0\) Luego \(A \notin s\)
Las rectas son paralelas distintas.
Comprueba que las rectas \(r: (x, y, z) = (0, 0, 0) + t(3, -2, 1)\) y \(s: (x, y, z) = (1, 1, 1) + w(2, 4, 2)\) son perpendiculares y determina si se cortan.
Para resolver este apartado empezaremos por calcular el producto escalar de los vectores directores. A continuación intentaremos hallar un punto común. Para terminar describiremos la posición completa.
Producto escalar.
Al anularse, las rectas son perpendiculares: \(r \perp s\)
Intersección.
Igualamos: \((3t, -2t, t) = (1 + 2w, 1 + 4w, 1 + 2w)\) De la primera y
la tercera: \(3t = 1 + 2w\) y \(t = 1 + 2w\), luego \(3(1 + 2w) = 1 + 2w \rightarrow 3 + 6w = 1 + 2w \rightarrow w = -\frac{1}{2}\) y \(t = 0\)
Pero la segunda ecuación exigiría \(-2(0) = 1 + 4\left(-\frac{1}{2}\right) = -1\), imposible.
Las rectas son perpendiculares pero no se cortan: se cruzan ortogonalmente en el espacio.
Comprueba que los ejes \(OX\) y \(OY\) son perpendiculares y secantes, e indica su punto de corte.
Para resolver este apartado empezaremos por escribir los vectores directores de ambos ejes. A continuación calcularemos su producto escalar. Para terminar identificaremos el punto común.
Vectores directores y producto escalar.
Los vectores son \(\vec{u} = (1, 0, 0)\) y \(\vec{v} = (0, 1, 0)\)
luego \(OX \perp OY\)
Punto de corte.
Ambos ejes contienen al origen \(O(0, 0, 0)\), luego se cortan en él formando un ángulo de \(90^\circ\)
Los ejes \(OX\) y \(OY\) son perpendiculares y secantes en el origen.
Halla los valores de \(a\) y \(b\) para que la recta \(r\) de vector director \(\vec{u} = (2, a, -4)\) sea paralela a la recta \(s\) de vector director \(\vec{v} = (1, 3, b)\)
Para resolver este apartado empezaremos por imponer la igualdad de las tres razones de proporcionalidad. A continuación despejaremos cada parámetro. Para terminar verificaremos el resultado.
Condición de proporcionalidad.
Para que sean paralelas debe cumplirse:
De \(\frac{a}{3} = 2\) sale \(a = 6\); de \(\frac{-4}{b} = 2\) sale \(b = -2\)
Verificación.
Con \(a = 6\) y \(b = -2\), \(\vec{u} = (2, 6, -4) = 2(1, 3, -2) = 2\vec{v}\): efectivamente proporcionales.
Las rectas son paralelas para \(a = 6\) y \(b = -2\)
Estudia la posición relativa de \(r: (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(1, -1, 0)\) y \(s: (x, y, z) = (0, 0, 1) + u(2, 1, 1)\), indicando si son paralelas o perpendiculares.
Para resolver este apartado empezaremos por estudiar el paralelismo comparando los vectores. A continuación estudiaremos la perpendicularidad con el producto escalar. Para terminar determinaremos la posición con el criterio de rangos.
Paralelismo.
Los vectores \(\vec{u} = (1, -1, 0)\) y \(\vec{v} = (2, 1, 1)\) no son proporcionales (\(\frac{1}{2} \neq \frac{-1}{1}\)), luego no son paralelas y \(\text{rg}(M) = 2\)
Perpendicularidad.
luego tampoco son perpendiculares.
Posición relativa.
El vector transversal es \(\overrightarrow{AB} = (0 - 1, 0 - 2, 1 - 3) = (-1, -2, -2)\)
Por tanto \(\text{rg}(M^\prime) = 3\)
Las rectas no son paralelas ni perpendiculares; se cruzan en el espacio.