2.8.1 Posición relativa de un punto y una recta y de un punto y un plano
Posición relativa de un punto y una recta
Dado un punto \(P(x_0, y_0, z_0) \) y una recta \(r \) definida por un punto base \(A(a_1, a_2, a_3) \) y un vector director \(\vec{v} = (v_1, v_2, v_3) \), solo existen dos posiciones relativas posibles.
El punto pertenece a la recta (\(P \in r \)) si y solo si sus coordenadas satisfacen las ecuaciones de la recta.
Equivalentemente, el vector \(\overrightarrow{AP} \) debe ser proporcional al vector director \(\vec{v} \), es decir:
El punto es exterior a la recta (\(P \notin r \)) cuando no verifica las ecuaciones, es decir, cuando \(\overrightarrow{AP} \) no es paralelo a \(\vec{v} \):
El punto \(P(0, 1, 0) \) no pertenece a la recta \((x, y, z) = (0, 0, 0) + \lambda(1, 0, 0) \), porque sus coordenadas no verifican \(y = 0 \): ningún valor de \(\lambda \) produce el punto \(P \)
Posición relativa de un punto y un plano
Dado un punto \(P(x_0, y_0, z_0) \) y un plano \(\pi: Ax + By + Cz + D = 0 \), también hay solo dos posibilidades.
El punto pertenece al plano (\(P \in \pi \)) si al sustituir sus coordenadas en la ecuación general se verifica la identidad numérica:
El punto es exterior al plano (\(P \notin \pi \)) cuando la ecuación no se anula:
El punto \(P(1, 1, 1) \) pertenece al plano \(\pi: x + y + z = 3 \), porque \(1 + 1 + 1 = 3 \)
Estudia si el punto \(P(1, 4, 3) \) pertenece a la recta $$r: \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{4} = \frac{z - 1}{2} $$
Para resolver este apartado empezaremos por sustituir las coordenadas del punto en cada fracción de la ecuación continua.
A continuación compararemos las tres razones obtenidas.
Para terminar concluiremos sobre la pertenencia.
Sustitución de las coordenadas.
Sustituimos \(x = 1 \), \(y = 4 \), \(z = 3 \):
Comparación de las razones.
Las tres fracciones valen lo mismo:
luego el punto verifica las tres igualdades de la ecuación continua.
El punto pertenece a la recta: \(P \in r \)
Comprueba si el punto \(Q(2, -1, 3) \) pertenece al plano \(\pi: 3x + 2y - z - 1 = 0 \)
Para resolver este apartado empezaremos por sustituir las coordenadas del punto en la ecuación general del plano.
A continuación realizaremos las operaciones aritméticas.
Para terminar concluiremos según el resultado sea cero o no.
Sustitución en la ecuación del plano.
Interpretación.
Al anularse el polinomio del plano, el punto verifica su ecuación.
Si tomáramos en cambio \(R(0, 0, 0) \), obtendríamos \(-1 \neq 0 \), luego \(R \notin \pi \)
El punto pertenece al plano: \(Q \in \pi \)
Determina la posición relativa del punto \(Q(1, 0, 2) \) respecto a la recta \(r: (x, y, z) = (0, 1, -1) + \lambda(1, 2, 1) \)
Para resolver este apartado empezaremos por extraer el punto base y el vector director de la recta.
A continuación calcularemos el vector que une el punto base con Q.
Para terminar estudiaremos si ambos vectores son proporcionales mediante su producto vectorial.
Punto base y vector AQ.
El punto base es \(A(0, 1, -1) \) y el vector director \(\vec{v} = (1, 2, 1) \)
El vector de unión es:
Estudio de la proporcionalidad.
Calculamos el producto vectorial:
Al no anularse, los vectores no son proporcionales y el rango de la matriz que forman es dos.
El punto es exterior a la recta: \(Q \notin r \)
Determina el valor de \(k \) para que el punto \(P(k, 1, 2) \) pertenezca al plano \(\pi: 2x - y + 3z + k = 0 \)
Para resolver este apartado empezaremos por imponer la condición de pertenencia sustituyendo el punto en la ecuación del plano.
A continuación resolveremos la ecuación lineal resultante.
Para terminar verificaremos el valor obtenido.
Condición de pertenencia.
Sustituimos \(P \) en \(\pi \):
Despejando: \(3k = -5 \rightarrow k = -\frac{5}{3} \)
Verificación.
Con \(k = -\frac{5}{3} \), el punto es \(P\left(-\frac{5}{3}, 1, 2\right) \) y:
El punto pertenece al plano para \(k = -\frac{5}{3} \)
Halla el valor de \(a \) para que el punto \(P(1, a, 3) \) pertenezca a la recta $$r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{-1} $$
Para resolver este apartado empezaremos por sustituir las coordenadas conocidas del punto en la ecuación continua.
A continuación igualaremos las razones para despejar el parámetro.
Para terminar comprobaremos el resultado.
Sustitución y condición.
Sustituimos \(x = 1 \) y \(z = 3 \):
Para que \(P \in r \), la razón central debe valer lo mismo:
Comprobación.
Con \(a = -1 \), el punto es \(P(1, -1, 3) \) y:
El punto pertenece a la recta para \(a = -1 \), siendo el punto \(P(1, -1, 3) \)