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2.6.1 Ecuaciones de la recta conocidos un punto y su vector director o dos puntos

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Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas de la recta

Una recta \(r \) queda determinada por un punto base \(A(x_0, y_0, z_0) \) y un vector director \(\vec{d} = (d_1, d_2, d_3) \neq \vec{0} \)

Todo punto \(X(x, y, z) \) de la recta se alcanza desde \(A \) sumando un múltiplo del vector director.

La ecuación vectorial es:

$$(x, y, z) = (x_0, y_0, z_0) + \lambda(d_1, d_2, d_3), \quad \lambda \in \mathbb{R} $$

Igualando componente a componente se obtienen las ecuaciones paramétricas:

$$\begin{cases} x = x_0 + \lambda d_1 \\ y = y_0 + \lambda d_2 \\ z = z_0 + \lambda d_3 \end{cases} $$
Ejemplo:

La recta que pasa por \(A(1, 0, -1) \) con vector director \(\vec{d} = (2, 1, 3) \) tiene ecuaciones paramétricas $$\begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = -1 + 3\lambda \end{cases} $$

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Ecuación continua y ecuaciones implícitas de la recta

Despejando el parámetro \(\lambda \) en cada una de las ecuaciones paramétricas e igualando las tres expresiones se obtiene la ecuación continua, válida cuando ninguna componente del vector director es nula:

$$\frac{x - x_0}{d_1} = \frac{y - y_0}{d_2} = \frac{z - z_0}{d_3} $$

Igualando las fracciones dos a dos se obtienen dos ecuaciones lineales independientes, que son las ecuaciones implícitas de la recta: la recta queda descrita como la intersección de dos planos secantes.

Ejemplo:

Despejando \(\lambda \) e igualando se obtiene la ecuación continua $$\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{3} $$, y de ahí las implícitas $$\begin{cases} x - 2y = 1 \\ 3y - z = 1 \end{cases} $$

Ejemplo 1: Ecuaciones de la recta por dos puntos

Halla las ecuaciones vectorial, paramétricas y continua de la recta que pasa por los puntos \(A(3, 0, -2) \) y \(B(1, 4, 2) \)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el vector director restando las coordenadas de los puntos y simplificándolo.

A continuación escribiremos la ecuación vectorial y las paramétricas.

Para terminar obtendremos la ecuación continua.

PASO 1

Cálculo y simplificación del vector director.

$$\vec{d} = B - A = (1 - 3, 4 - 0, 2 - (-2)) = (-2, 4, 4) $$

Dividiendo por \(-2 \) se obtiene el vector proporcional más sencillo \(\vec{d} = (-1, 2, 2) \)

PASO 2

Ecuación vectorial y paramétricas.

Tomando el punto \(A(3, 0, -2) \):

$$(x, y, z) = (3, 0, -2) + \lambda(-1, 2, 2), \quad \begin{cases} x = 3 - \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = -2 + 2\lambda \end{cases} $$
PASO 3

Ecuación continua.

$$\frac{x - 3}{-1} = \frac{y - 0}{2} = \frac{z + 2}{2} $$
Conclusión

La recta queda determinada por cualquiera de estas tres formas equivalentes.

Ejemplo 2: Todas las formas de la ecuación de la recta

Halla las ecuaciones paramétricas, la continua y las implícitas de la recta que pasa por \(A(1, 2, -1) \) con vector director \(\vec{d} = (3, 4, 2) \)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir las ecuaciones paramétricas con el punto y el vector dados.

A continuación despejaremos el parámetro para obtener la ecuación continua.

Para terminar igualaremos las fracciones dos a dos para obtener las ecuaciones implícitas.

PASO 1

Ecuaciones paramétricas y continua.

$$\begin{cases} x = 1 + 3\lambda \\ y = 2 + 4\lambda \\ z = -1 + 2\lambda \end{cases}, \quad \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z + 1}{2} $$
PASO 2

Ecuaciones implícitas.

Igualamos la primera fracción con

la segunda:

$$\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{4} \rightarrow 4(x - 1) = 3(y - 2) \rightarrow 4x - 4 = 3y - 6 \rightarrow 4x - 3y + 2 = 0 $$

Igualamos la segunda fracción con

la tercera:

$$\frac{y - 2}{4} = \frac{z + 1}{2} \rightarrow 2(y - 2) = 4(z + 1) \rightarrow 2y - 4 = 4z + 4 \rightarrow 2y - 4z - 8 = 0 \rightarrow y - 2z - 4 = 0 $$
Conclusión

Las ecuaciones implícitas de la recta son $$\begin{cases} 4x - 3y + 2 = 0 \\ y - 2z - 4 = 0 \end{cases} $$

Ejemplo 3: Recta por dos puntos en forma continua

Halla la ecuación continua de la recta que pasa por \(A(2, 0, 1) \) y \(B(4, 2, 5) \)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el vector director restando las coordenadas y simplificándolo.

A continuación escribiremos la ecuación continua con el punto A.

Para terminar daremos la forma final.

PASO 1

Vector director simplificado.

$$\vec{AB} = B - A = (2, 2, 4) $$

Dividiendo por \(2 \) se obtiene el vector proporcional \((1, 1, 2) \)

PASO 2

Ecuación continua.

$$\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - 1}{2} $$
Conclusión

La ecuación continua de la recta es $$\frac{x - 2}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{2} $$

Ejemplo 4: Recta con componentes nulas en el vector director

Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por \(P(1, 2, 3) \) y es paralela al eje \(OZ \)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar el vector director de la recta paralela al eje OZ.

A continuación escribiremos las ecuaciones paramétricas.

Para terminar observaremos por qué la ecuación continua no es válida en este caso.

PASO 1

Vector director.

Una recta paralela al eje \(OZ \) tiene como vector director \(\vec{d} = (0, 0, 1) \)

PASO 2

Ecuaciones paramétricas.

$$\begin{cases} x = 1 + \lambda \cdot 0 \\ y = 2 + \lambda \cdot 0 \\ z = 3 + \lambda \cdot 1 \end{cases} \quad \text{es decir} \quad \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 + \lambda \end{cases} $$
Conclusión

Las ecuaciones paramétricas son \(x = 1 \), \(y = 2 \), \(z = 3 + \lambda \)

La ecuación continua no puede escribirse porque dos componentes del vector director son nulas y aparecerían ceros en los denominadores.

Ejemplo 5: Ecuaciones implícitas de una recta por un punto y su vector director

Halla las ecuaciones implícitas de la recta que pasa por \(A(-1, 2, 1) \) con vector director \(\vec{d} = (2, -1, 3) \)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la ecuación continua de la recta.

A continuación igualaremos las fracciones dos a dos.

Para terminar simplificaremos cada ecuación lineal y comprobaremos el resultado.

PASO 1

Ecuación continua.

$$\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{3} $$
PASO 2

Primera ecuación implícita.

$$\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} \rightarrow -(x + 1) = 2(y - 2) \rightarrow -x - 1 = 2y - 4 \rightarrow x + 2y - 3 = 0 $$
PASO 3

Segunda ecuación implícita.

$$\frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{3} \rightarrow 3(y - 2) = -(z - 1) \rightarrow 3y - 6 = -z + 1 \rightarrow 3y + z - 7 = 0 $$
PASO 4

Comprobación.

El punto \(A(-1, 2, 1) \) verifica ambas ecuaciones: \(-1 + 4 - 3 = 0 \) y \(6 + 1 - 7 = 0 \)

Además, el producto vectorial de los normales \((1, 2, 0) \) y \((0, 3, 1) \) es \((2, -1, 3) \), proporcional al vector director dado.

Conclusión

Las ecuaciones implícitas de la recta son $$\begin{cases} x + 2y - 3 = 0 \\ 3y + z - 7 = 0 \end{cases} $$