2.5.3 Ecuaciones del plano conocidos dos puntos y un vector

Construcción del plano mediante dos puntos y un vector

Dados dos puntos $A, B \in \mathbb{R}^3 $ y un vector libre $\vec{u} $, el plano queda determinado tomando como vectores directores $\vec{AB} $ y $\vec{u} $, con la condición de que no sean paralelos: $\vec{AB} \not\parallel \vec{u} $

La ecuación se obtiene con el determinante general igualado a cero:

$$\begin{vmatrix} x - x_A & y - y_A & z - z_A \\ x_B - x_A & y_B - y_A & z_B - z_A \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix} = 0 $$

📝 Ejemplo:

Dados $A(1, 1, 0) $, $B(2, 0, 1) $ y $\vec{u} = (0, 0, 1) $, el plano queda determinado por el punto $A $ y los vectores directores $\overrightarrow{AB} = (1, -1, 1) $ y $\vec{u} $, que no son paralelos.

Planos paralelos a los ejes coordenados

Un caso particular importante es el del plano que contiene a dos puntos y es paralelo a uno de los ejes coordenados.

Basta tomar como segundo vector director el vector del eje correspondiente: $(1, 0, 0) $ para el eje $OX $, $(0, 1, 0) $ para el eje $OY $ y $(0, 0, 1) $ para el eje $OZ $

La ecuación resultante no contiene la variable del eje al que el plano es paralelo.

📝 Ejemplo:

El plano que contiene a $A(1, 0, 1) $ y $B(0, 2, 3) $ y es paralelo al eje $OX $ toma como segundo vector director $(1, 0, 0) $ junto con $\overrightarrow{AB} = (-1, 2, 2) $

📝 Ejemplo 1: Plano por dos puntos y un vector director

Halla el plano que pasa por $A(2, -1, 0) $ y $B(3, 1, 2) $ y tiene como vector director $\vec{u} = (0, 2, -1) $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el vector AB restando las coordenadas de los puntos.

A continuación comprobaremos que no es paralelo al vector director dado.

Para terminar plantearemos el determinante igualado a cero y lo desarrollaremos.

👉 PASO 1

Cálculo del vector $\vec{AB} $ y comprobación.

$$\vec{AB} = B - A = (3 - 2, 1 - (-1), 2 - 0) = (1, 2, 2) $$

Las componentes de $(1, 2, 2) $ y $(0, 2, -1) $ no son proporcionales, luego $\vec{AB} \not\parallel \vec{u} $ y determinan un plano único.

👉 PASO 2

Determinante igualado a cero.

$$\begin{vmatrix} x - 2 & y + 1 & z - 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 0 $$

👉 PASO 3

Desarrollo y simplificación.

$$= (x - 2)(2 \cdot (-1) - 2 \cdot 2) - (y + 1)(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 0) + z(1 \cdot 2 - 2 \cdot 0) = -6(x - 2) + (y + 1) + 2z = -6x + 12 + y + 1 + 2z = -6x + y + 2z + 13 = 0 $$

Cambiando el signo:

$$6x - y - 2z - 13 = 0 $$

✅ Conclusión

La ecuación del plano es $6x - y - 2z - 13 = 0 $

📝 Ejemplo 2: Plano por dos puntos y paralelo al eje OX

Halla el plano que contiene a los puntos $A(0, 1, 2) $ y $B(2, 2, 3) $ y es paralelo al eje $OX $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar los dos vectores directores: el vector AB y el vector del eje OX.

A continuación plantearemos el determinante igualado a cero.

Para terminar lo desarrollaremos y simplificaremos.

👉 PASO 1

Los dos vectores directores.

$$\vec{AB} = B - A = (2, 1, 1), \quad \vec{v}_{OX} = (1, 0, 0) $$

👉 PASO 2

Determinante igualado a cero.

$$\begin{vmatrix} x - 0 & y - 1 & z - 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 $$

👉 PASO 3

Desarrollo.

$$= x(1 \cdot 0 - 1 \cdot 0) - (y - 1)(2 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + (z - 2)(2 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = (y - 1) - (z - 2) = y - 1 - z + 2 = y - z + 1 = 0 $$

✅ Conclusión

La ecuación del plano es $y - z + 1 = 0 $, que efectivamente no contiene la variable $x $ por ser el plano paralelo al eje $OX $

📝 Ejemplo 3: Plano por dos puntos y un vector dado

Halla el plano que pasa por $A(1, 0, 1) $ y $B(2, 3, 0) $ y es paralelo al vector $\vec{u} = (0, 1, 2) $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el vector AB.

A continuación plantearemos el determinante con los dos directores.

Para terminar lo desarrollaremos y simplificaremos.

👉 PASO 1

Cálculo del vector $\vec{AB} $

$$\vec{AB} = B - A = (1, 3, -1) $$

👉 PASO 2

Determinante igualado a cero y desarrollo.

$$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 0 & z - 1 \\ 1 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0 $$

$$= (x - 1)(3 \cdot 2 - (-1) \cdot 1) - y(1 \cdot 2 - (-1) \cdot 0) + (z - 1)(1 \cdot 1 - 3 \cdot 0) = 7(x - 1) - 2y + (z - 1) = 7x - 7 - 2y + z - 1 = 7x - 2y + z - 8 = 0 $$

✅ Conclusión

La ecuación del plano es $7x - 2y + z - 8 = 0 $

📝 Ejemplo 4: Plano por dos puntos y paralelo al eje OY

Halla el plano que pasa por $A(1, 1, 1) $ y $B(2, -1, 3) $ y es paralelo al eje $OY $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el vector AB e identificar el vector del eje OY como segundo director.

A continuación plantearemos el determinante igualado a cero.

Para terminar lo desarrollaremos.

👉 PASO 1

Los dos vectores directores.

$$\vec{AB} = B - A = (1, -2, 2), \quad \vec{v}_{OY} = (0, 1, 0) $$

👉 PASO 2

Determinante igualado a cero y desarrollo.

$$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 1 & z - 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 $$

$$= (x - 1)((-2) \cdot 0 - 2 \cdot 1) - (y - 1)(1 \cdot 0 - 2 \cdot 0) + (z - 1)(1 \cdot 1 - (-2) \cdot 0) = -2(x - 1) + (z - 1) = -2x + 2 + z - 1 = -2x + z + 1 = 0 $$

Cambiando el signo:

$$2x - z - 1 = 0 $$

✅ Conclusión

La ecuación del plano es $2x - z - 1 = 0 $, que no contiene la variable $y $ por ser el plano paralelo al eje $OY $

📝 Ejemplo 5: Dos puntos y un vector que no determinan un plano único

Estudia si los puntos $A(1, 2, 3) $ y $B(3, 4, 5) $ junto con el vector $\vec{u} = (1, 1, 1) $ determinan un plano único.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el vector AB.

A continuación estudiaremos si es paralelo al vector director dado.

Para terminar daremos la conclusión geométrica.

👉 PASO 1

Cálculo del vector $\vec{AB} $

$$\vec{AB} = B - A = (2, 2, 2) $$

👉 PASO 2

Estudio del paralelismo.

$$\vec{AB} = (2, 2, 2) = 2(1, 1, 1) = 2\vec{u} $$

Los dos vectores son proporcionales, luego son paralelos y no pueden actuar como dos directores independientes del plano.

✅ Conclusión

Los datos no determinan un plano único: por la recta $AB $ pasan infinitos planos.