Inicio / Asignaturas / Matemáticas II / Ecuaciones del plano conocidos tres puntos no alineados

2.5.2 Ecuaciones del plano conocidos tres puntos no alineados

▶ Reproducir en la pizarra
1

Plano determinado por tres puntos no alineados

Tres puntos \(A, B, C \in \mathbb{R}^3 \) determinan un único plano si y solo si no están alineados, es decir, si los vectores \(\vec{AB} \) y \(\vec{AC} \) no son paralelos.

En ese caso, dichos vectores actúan como vectores directores y el plano se obtiene con el determinante de coplanaridad:

$$\begin{vmatrix} x - x_A & y - y_A & z - z_A \\ x_B - x_A & y_B - y_A & z_B - z_A \\ x_C - x_A & y_C - y_A & z_C - z_A \end{vmatrix} = 0 $$
Ejemplo:

Los puntos \(A(1, 0, 0) \), \(B(0, 1, 0) \) y \(C(0, 0, 1) \) no están alineados y determinan el plano \(x + y + z = 1 \): basta comprobar que los tres puntos verifican la ecuación.

2

Ecuación segmentaria del plano

Si el plano corta a los tres ejes coordenados en los puntos \(A(a, 0, 0) \), \(B(0, b, 0) \) y \(C(0, 0, c) ,\ \text{con}\ a, b, c \neq 0 \), sus interceptos con los ejes determinan directamente la ecuación segmentaria:

$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 $$
Ejemplo:

El plano de ecuación segmentaria \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1 \) corta a los ejes en \((2, 0, 0) \), \((0, 3, 0) \) y \((0, 0, 6) \)

Ejemplo 1: Plano por tres puntos no alineados

Halla el plano que contiene a los puntos \(A(1, 0, 2) \), \(B(2, 1, 3) \) y \(C(0, 2, 1) \)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por formar los dos vectores directores restando las coordenadas de los puntos.

A continuación plantearemos el determinante de coplanaridad igualado a cero.

Para terminar lo desarrollaremos y simplificaremos.

PASO 1

Vectores directores.

$$\vec{AB} = B - A = (1, 1, 1), \quad \vec{AC} = C - A = (-1, 2, -1) $$
PASO 2

Determinante de coplanaridad.

$$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 0 & z - 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 0 $$
PASO 3

Desarrollo y simplificación.

$$= (x - 1)(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2) - y(1 \cdot (-1) - 1 \cdot (-1)) + (z - 2)(1 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) = -3(x - 1) - y(0) + 3(z - 2) = -3x + 3 + 3z - 6 = -3x + 3z - 3 = 0 $$

Dividiendo por \(-3 \):

$$x - z + 1 = 0 $$
Conclusión

La ecuación del plano es \(x - z + 1 = 0 \)

Ejemplo 2: Ecuación segmentaria a partir de los interceptos

Halla la ecuación del plano que corta a los ejes coordenados en \(A(3, 0, 0) \), \(B(0, -2, 0) \) y \(C(0, 0, 4) \)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar los interceptos con cada eje.

A continuación escribiremos la ecuación segmentaria.

Para terminar eliminaremos los denominadores para obtener la ecuación general.

PASO 1

Identificación de los interceptos.

Los cortes con los ejes son \(a = 3 \) en el eje \(OX \), \(b = -2 \) en el eje \(OY \) y \(c = 4 \) en el eje \(OZ \)

PASO 2

Ecuación segmentaria.

$$\frac{x}{3} + \frac{y}{-2} + \frac{z}{4} = 1 $$
PASO 3

Eliminación de denominadores.

Multiplicando por el mínimo común múltiplo \(12 \):

$$12 \cdot \frac{x}{3} + 12 \cdot \frac{y}{-2} + 12 \cdot \frac{z}{4} = 12 \rightarrow 4x - 6y + 3z = 12 \rightarrow 4x - 6y + 3z - 12 = 0 $$
Conclusión

La ecuación general del plano es \(4x - 6y + 3z - 12 = 0 \)

Ejemplo 3: Plano segmentario con interceptos positivos

Halla el plano que pasa por \(A(2, 0, 0) \), \(B(0, 3, 0) \) y \(C(0, 0, 6) \)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la ecuación segmentaria con los interceptos dados.

A continuación eliminaremos los denominadores multiplicando por el mínimo común múltiplo.

Para terminar escribiremos la ecuación general.

PASO 1

Ecuación segmentaria.

Los interceptos son \(a = 2 \), \(b = 3 \) y \(c = 6 \):

$$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1 $$
PASO 2

Eliminación de denominadores.

Multiplicando por \(6 \):

$$3x + 2y + z = 6 \rightarrow 3x + 2y + z - 6 = 0 $$
Conclusión

La ecuación del plano es \(3x + 2y + z - 6 = 0 \)

Ejemplo 4: Plano por tres puntos con determinante simplificado

Halla el plano que pasa por \(A(1, 1, 0) \), \(B(2, 0, 1) \) y \(C(0, 2, 2) \)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por formar los dos vectores directores.

A continuación plantearemos el determinante de coplanaridad.

Para terminar lo desarrollaremos y simplificaremos dividiendo por el factor común.

PASO 1

Vectores directores.

$$\vec{AB} = (1, -1, 1), \quad \vec{AC} = (-1, 1, 2) $$
PASO 2

Determinante de coplanaridad.

$$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 1 & z - 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0 $$
PASO 3

Desarrollo y simplificación.

$$= (x - 1)((-1) \cdot 2 - 1 \cdot 1) - (y - 1)(1 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) + z(1 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)) = -3(x - 1) - 3(y - 1) + 0z = -3x + 3 - 3y + 3 = -3x - 3y + 6 = 0 $$

Dividiendo por \(-3 \):

$$x + y - 2 = 0 $$
Conclusión

La ecuación del plano es \(x + y - 2 = 0 \)

Ejemplo 5: Tres puntos alineados no determinan un plano

Analiza si los puntos \(A(1, 2, 3) \), \(B(2, 4, 6) \) y \(C(3, 6, 9) \) determinan un plano único.

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por formar los vectores AB y AC.

A continuación estudiaremos si son proporcionales.

Para terminar daremos la conclusión geométrica.

PASO 1

Vectores \(\vec{AB} \) y \(\vec{AC} \)

$$\vec{AB} = B - A = (1, 2, 3), \quad \vec{AC} = C - A = (2, 4, 6) $$
PASO 2

Estudio de la proporcionalidad.

$$\vec{AC} = (2, 4, 6) = 2(1, 2, 3) = 2\vec{AB} $$

Los dos vectores son proporcionales, luego son paralelos y los tres puntos están alineados.

Conclusión

Al estar alineados, los tres puntos no determinan un plano único: determinan una recta e, por ella, pasan infinitos planos.