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2.4.3 Volumen del paralelepipedo y del tetraedro

Enunciado del ejercicio

1. Volumen del paralelepípedo El volumen de un paralelepípedo cuyas aristas concurrentes vienen dadas por los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) es el valor absoluto de su producto mixto, ya que el área de la base es el módulo del producto vectorial y la altura es la proyección del tercer vector sobre la dirección normal: \(V_{\text{paralelepípedo}} = |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|\) Ejemplo: El paralelepípedo de aristas \((2, 0, 0)\), \((0, 3, 0)\) y \((0, 0, 4)\) tiene volumen \(V = \left|\begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix}\right| = 24\) 2. Volumen del tetraedro Dados cuatro puntos no coplanarios \(A, B, C, D \in \mathbb{R}^3\), el tetraedro que determinan ocupa exactamente la sexta parte del paralelepípedo sustentado por los vectores concurrentes \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) y \(\vec{AD}\): \(V_{\text{tetraedro}} = \frac{1}{6}|[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|\) Ejemplo: El tetraedro de vértices \(O(0, 0, 0)\), \(A(2, 0, 0)\), \(B(0, 3, 0)\) y \(C(0, 0, 4)\) ocupa la sexta parte del paralelepípedo anterior: \(V = \frac{24}{6} = 4\) Ejemplo 1: Volumen de un paralelepípedo Halla el volumen del paralelepípedo generado por \(\vec{u} = (2, 0, 0)\), \(\vec{v} = (1, 3, 0)\) y \(\vec{w} = (0, 1, 4)\)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el producto mixto de los tres vectores mediante el determinante de orden tres. A continuación tomaremos el valor absoluto del resultado. Para terminar identificaremos ese valor con el volumen del paralelepípedo.

PASO 1

Cálculo del producto mixto.

$$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 2(3 \cdot 4 - 0 \cdot 1) = 2 \cdot 12 = 24$$
PASO 2

Volumen del paralelepípedo.

$$V_{\text{paralelepípedo}} = |24| = 24$$
Conclusión

El volumen del paralelepípedo es \(24\) unidades cúbicas.

Ejemplo 2: Volumen de un tetraedro dados sus vértices

Dados los vértices \(A(0, 0, 0)\), \(B(3, 0, 0)\), \(C(0, 4, 0)\) y \(D(0, 0, 5)\), halla el volumen del tetraedro \(ABCD\)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular los tres vectores que concurren en el vértice A. A continuación calcularemos su producto mixto. Para terminar dividiremos su valor absoluto por seis.

PASO 1

Vectores concurrentes en \(A\)

$$\vec{AB} = (3, 0, 0), \quad \vec{AC} = (0, 4, 0), \quad \vec{AD} = (0, 0, 5)$$
PASO 2

Cálculo del producto mixto.

Al tratarse de una matriz diagonal, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal:

$$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = \begin{vmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{vmatrix} = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$$
PASO 3

Volumen del tetraedro.

$$V_{\text{tetraedro}} = \frac{1}{6}|60| = \frac{60}{6} = 10$$
Conclusión

El volumen del tetraedro es \(10\) unidades cúbicas.

Ejemplo 3: Volumen de un paralelepípedo con aristas generales

Halla el volumen del paralelepípedo definido por \(\vec{u} = (1, 0, 2)\), \(\vec{v} = (0, 3, 1)\) y \(\vec{w} = (2, 1, 0)\)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el producto mixto de los tres vectores mediante el determinante de orden tres. A continuación tomaremos el valor absoluto del resultado, ya que el volumen siempre es positivo. Para terminar daremos el volumen con sus unidades.

PASO 1

Cálculo del producto mixto.

$$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1(3 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + 2(0 \cdot 1 - 3 \cdot 2) = -1 + 2(-6) = -1 - 12 = -13$$
PASO 2

Volumen del paralelepípedo.

$$V_{\text{paralelepípedo}} = |-13| = 13$$
Conclusión

El volumen del paralelepípedo es \(13\) unidades cúbicas.

Ejemplo 4: Volumen de un tetraedro con vértices generales

Dados los vértices \(A(1, 1, 1)\), \(B(2, 0, 0)\), \(C(0, 2, 0)\) y \(D(0, 0, 3)\), halla el volumen del tetraedro \(ABCD\)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular los tres vectores que concurren en el vértice A restando coordenadas. A continuación calcularemos su producto mixto mediante el determinante de orden tres. Para terminar dividiremos su valor absoluto por seis.

PASO 1

Vectores concurrentes en \(A\)

$$\vec{AB} = (1, -1, -1), \quad \vec{AC} = (-1, 1, -1), \quad \vec{AD} = (-1, -1, 2)$$
PASO 2

Cálculo del producto mixto.

$$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 1(2 - 1) + 1(-2 - 1) - 1(1 + 1) = 1 - 3 - 2 = -4$$
PASO 3

Volumen del tetraedro.

$$V_{\text{tetraedro}} = \frac{1}{6}|-4| = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$
Conclusión

El volumen del tetraedro es \(\frac{2}{3}\) unidades cúbicas.

Ejemplo 5: Altura de un tetraedro sobre una de sus caras

Halla la altura del tetraedro del Ejemplo 4 trazada desde el vértice \(D\) sobre la base \(ABC\)

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por recordar la relación entre el volumen, el área de la base y la altura de un tetraedro. A continuación calcularemos el área de la base mediante el producto vectorial. Para terminar despejaremos la altura.

PASO 1

Relación entre volumen, base y altura.

En todo tetraedro se verifica \(V = \frac{1}{3} \cdot \text{Área}_{\text{base}} \cdot h\), de donde:

$$h = \frac{3V}{\text{Área}_{\text{base}}}$$
PASO 2

Área de la base \(ABC\)

$$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (2, 2, 0)$$
$$\text{Área}_{\text{base}} = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2}\sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2} = \frac{1}{2}\sqrt{8} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$
PASO 3

Cálculo de la altura.

Del Ejemplo 4 sabemos que \(V = \frac{2}{3}\):

$$h = \frac{3 \cdot \frac{2}{3}}{\sqrt{2} }= \frac{2}{\sqrt{2} }= \sqrt{2}$$
Conclusión

La altura desde el vértice \(D\) mide \(\sqrt{2}\) unidades.