Producto mixto de tres vectores

Question

Definición y notación del producto mixto

Accepted Answer

Enunciado del ejercicio
  
    1. Definición y notación del producto mixto El producto mixto de tres vectores $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^3$ es una operación combinada que asocia a dicha terna un número real, es decir, un escalar. Se denota con corchetes y se define como el producto escalar del primero por el producto vectorial de los otros dos: $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ Ejemplo: El producto mixto de la base canónica es $[\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}] = \vec{i} \cdot (\vec{j} \times \vec{k}) = \vec{i} \cdot \vec{i} = 1$ 2. Cálculo del producto mixto mediante un determinante de orden tres En cualquier base ortonormal, el producto mixto coincide con el determinante cuyas filas son las componentes de los tres vectores, en el mismo orden: $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \ v_1 & v_2 & v_3 \ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}$ Ejemplo: El producto mixto de $(1, 0, 0)$, $(0, 2, 0)$ y $(0, 0, 3)$ es el determinante diagonal $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$ Ejemplo 1: Cálculo del producto mixto por definición Calcula $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ para $\vec{u} = (2, 0, 1)$, $\vec{v} = (1, 1, 0)$ y $\vec{w} = (0, 2, 3)$

Explicación
Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el producto vectorial de v por w mediante el determinante formal. A continuación efectuaremos el producto escalar del resultado con el vector u. Para terminar obtendremos el valor del producto mixto.

PASO 1
Cálculo de $\vec{v} \times \vec{w}$
$$\vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 1 & 1 & 0 \ 0 & 2 & 3 \end{vmatrix} = (3, -3, 2)$$

PASO 2
Producto escalar con $\vec{u}$
$$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = (2, 0, 1) \cdot (3, -3, 2) = 2 \cdot 3 + 0 \cdot (-3) + 1 \cdot 2 = 6 + 2 = 8$$

Conclusión
El producto mixto vale $8$

Ejemplo 2: Cálculo directo del producto mixto por determinante
  
Evalúa $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ para $\vec{u} = (1, 2, 3)$, $\vec{v} = (0, 1, 2)$ y $\vec{w} = (1, -1, 0)$
Explicación
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir el determinante de orden tres con las componentes de los tres vectores como filas. A continuación lo desarrollaremos por la primera fila. Para terminar operaremos para obtener el valor final.

PASO 1
Planteamiento del determinante.
$$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 1 & 2 \ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$

PASO 2
Desarrollo por la primera fila.
$$= 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \ -1 & 0 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \ 1 & 0 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (0 + 2) - 2 \cdot (0 - 2) + 3 \cdot (0 - 1) = 2 + 4 - 3 = 3$$

Conclusión
El producto mixto vale $3$

Ejemplo 3: Estudio de la coplanaridad de tres vectores
  
Comprueba si los vectores $\vec{u} = (1, 1, 1)$, $\vec{v} = (2, 3, 1)$ y $\vec{w} = (3, 4, 2)$ son coplanarios.
Explicación
Para resolver este ejemplo empezaremos por recordar que tres vectores son coplanarios si y solo si su producto mixto es cero. A continuación calcularemos el producto mixto mediante el determinante de orden tres. Para terminar daremos la conclusión.

PASO 1
Cálculo del producto mixto.
$$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ 2 & 3 & 1 \ 3 & 4 & 2 \end{vmatrix}$$

PASO 2
Desarrollo del determinante.
$$= 1 \cdot (3 \cdot 2 - 1 \cdot 4) - 1 \cdot (2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) + 1 \cdot (2 \cdot 4 - 3 \cdot 3) = (6 - 4) - (4 - 3) + (8 - 9) = 2 - 1 - 1 = 0$$

Conclusión
Como el producto mixto es $0$, los tres vectores son coplanarios.

Ejemplo 4: Producto mixto con un vector multiplicado por un escalar
  
Si $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 5$, determina el valor de $[2\vec{v}, \vec{u}, \vec{w}]$
Explicación
Para resolver este ejemplo empezaremos por sacar el escalar dos fuera del producto mixto usando la linealidad. A continuación intercambiaremos las dos primeras posiciones para recuperar el orden original. Para terminar sustituiremos el valor conocido.

PASO 1
Extracción del escalar.
Por linealidad respecto de la primera componente:
$$[2\vec{v}, \vec{u}, \vec{w}] = 2[\vec{v}, \vec{u}, \vec{w}]$$

PASO 2
Intercambio de dos posiciones.
Al intercambiar las dos primeras posiciones el producto mixto cambia de signo:
$$2[\vec{v}, \vec{u}, \vec{w}] = -2[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = -2 \cdot 5 = -10$$

Conclusión
El valor pedido es $-10$

Ejemplo 5: Determinación de un parámetro para la coplanaridad
  
Determina el valor de $m$ para el que los vectores $\vec{u} = (1, m, 2)$, $\vec{v} = (2, 1, 0)$ y $\vec{w} = (m, 2, 1)$ son coplanarios.
Explicación
Para resolver este ejemplo empezaremos por imponer que el producto mixto sea cero, que es la condición de coplanaridad. A continuación desarrollaremos el determinante en función de eme. Para terminar resolveremos la ecuación de primer grado obtenida.

PASO 1
Imposición de la condición de coplanaridad.
$$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} 1 & m & 2 \ 2 & 1 & 0 \ m & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$$

PASO 2
Desarrollo del determinante en función de $m$
$$= 1 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 2) - m \cdot (2 \cdot 1 - 0 \cdot m) + 2 \cdot (2 \cdot 2 - 1 \cdot m) = 1 - 2m + 2(4 - m) = 1 - 2m + 8 - 2m = 9 - 4m$$

PASO 3
Resolución de la ecuación.
$$9 - 4m = 0 \rightarrow 4m = 9 \rightarrow m = \frac{9}{4}$$

Conclusión
Los vectores son coplanarios para $m = \frac{9}{4}$

2.4.1 Producto mixto de tres vectores

Acceso exclusivo para usuarios registrados