2.2.7 Vectores ortogonales y ortonormales

Vectores ortogonales

Dos vectores $\vec{u} $ y $\vec{v} $ son ortogonales (perpendiculares, $\vec{u} \perp \vec{v} $) cuando forman un ángulo recto, lo que equivale a la condición analítica:

$$\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 $$

Si alguno de los vectores es nulo, el producto escalar es cero pero no se habla de perpendicularidad en sentido geométrico.

Ejemplo:

Los vectores $\vec{u} = (1, 2, -1) $ y $\vec{v} = (2, -1, 0) $ son ortogonales, porque $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 - 2 + 0 = 0 $

Conjuntos ortonormales

Un conjunto de vectores $\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3\} $ es ortonormal cuando son ortogonales dos a dos y todos unitarios, es decir:

$$\vec{e}_i \cdot \vec{e}_j = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j \\ 0 & \text{si } i \neq j \end{cases} $$

Tres vectores ortonormales en $\mathbb{R}^3 $ forman una base ortonormal; la más conocida es la canónica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\} $

Ejemplo:

El conjunto $\{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\} $ es ortonormal: los productos escalares dos a dos valen $0 $ y cada vector tiene módulo $1 $

Ejemplo 1: Vector perpendicular a uno dado

Halla un vector no nulo perpendicular a $\vec{u} = (1, 2, -3) $

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por imponer la condición de ortogonalidad $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 $ con un vector genérico.

A continuación elegiremos valores sencillos para dos componentes y despejaremos la tercera.

PASO 1

Condición con un vector genérico.

Para $\vec{v} = (x, y, z) $:

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = x + 2y - 3z = 0 $$

Tomamos $y = 1 $ y $z = 0 $, de donde $x = -2 $

PASO 2

Vector obtenido y comprobación.

$$\vec{v} = (-2, 1, 0) $$

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 + (-3) \cdot 0 = -2 + 2 + 0 = 0 $$

Conclusión

El vector $(-2, 1, 0) $ es no nulo y perpendicular a $\vec{u} $

Ejemplo 2: Comprobación de ortonormalidad

Comprueba que $$\vec{u}_1 = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right) $$ y $\vec{u}_2 = (0, 0, 1) $ forman un conjunto ortonormal.

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por comprobar que ambos vectores son unitarios.

A continuación comprobaremos que son ortogonales.

PASO 1

Módulos unitarios.

$$|\vec{u}_1| = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1 $$

$$|\vec{u}_2| = 1 $$

PASO 2

Ortogonalidad.

$$\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 $$

Conclusión

Son unitarios y ortogonales entre sí, luego forman un conjunto ortonormal.

Ejemplo 3: Base ortonormal construida

Demuestra que los vectores $\vec{e}_1 = (1, 0, 0) $, $$\vec{e}_2 = \left( 0, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) $$ y $$\vec{e}_3 = \left( 0, -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) $$ forman una base ortonormal de $\mathbb{R}^3 $

Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la ortogonalidad dos a dos.

A continuación comprobaremos que todos son unitarios.

Para terminar concluiremos que forman una base.

PASO 1

Ortogonalidad dos a dos.

$\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 = 0 $, $\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_3 = 0 $

$$\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_3 = 0 \cdot 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 0 $$

PASO 2

Módulos unitarios.

$$|\vec{e}_1| = 1 $$

$$|\vec{e}_2| = \sqrt{\frac{2}{4} + \frac{2}{4}} = 1 $$

$|\vec{e}_3| = 1 $ (mismo cálculo que el anterior).

PASO 3

Conclusión como base.

Tres vectores ortogonales dos a dos en $\mathbb{R}^3 $ son linealmente independientes, y tres vectores independientes en un espacio de dimensión tres forman base.

Conclusión

Los tres vectores forman una base ortonormal de $\mathbb{R}^3 $

Ejemplo 4: Vector unitario perpendicular a uno dado

Halla un vector unitario perpendicular a $\vec{u} = (1, 2, -2) $

Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por buscar un vector no nulo ortogonal a $\vec{u} $ imponiendo producto escalar nulo.

A continuación lo normalizaremos dividiendo por su módulo.

Para terminar comprobaremos el resultado.

PASO 1

Vector ortogonal no nulo.

Buscamos $\vec{w} = (x, y, z) $ con $x + 2y - 2z = 0 $

Tomando $x = 0 $, $y = 1 $ y $z = 1 $, se cumple $0 + 2 - 2 = 0 $, luego $\vec{w} = (0, 1, 1) $ es ortogonal a $\vec{u} $

PASO 2

Normalización.

$$|\vec{w}| = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} $$

$$\vec{e} = \frac{\vec{w}}{|\vec{w}|} = \left( 0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) $$

PASO 3

Comprobación.

$$|\vec{e}| = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1 $$

$$\vec{u} \cdot \vec{e} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2} + (-2) \cdot \frac{1}{\sqrt{2} }}= 0 $$

Conclusión

El vector $$\left( 0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) $$ es unitario y perpendicular a $\vec{u} $

Ejemplo 5: Diagonales de un rombo

Demuestra que si $|\vec{u}| = |\vec{v}| $ entonces $\vec{u} + \vec{v} $ y $\vec{u} - \vec{v} $ son perpendiculares, y compruébalo con $\vec{u} = (1, 2, 2) $ y $\vec{v} = (2, 2, 1) $

Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el producto escalar de la suma por la diferencia con letras.

A continuación usaremos la hipótesis de módulos iguales.

Para terminar haremos la comprobación numérica.

PASO 1

Producto con letras.

Desarrollando por la propiedad distributiva y simplificando por conmutatividad:

$$(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 $$

PASO 2

Hipótesis de módulos iguales.

Si $|\vec{u}| = |\vec{v}| $, entonces $|\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 = 0 $, luego el producto escalar es nulo y los vectores son perpendiculares.

PASO 3

Comprobación numérica.

$|\vec{u}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3 $, $|\vec{v}| = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3 $

$\vec{u} + \vec{v} = (3, 4, 3) $, $\vec{u} - \vec{v} = (-1, 0, 1) $

$$(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = -3 + 0 + 3 = 0 $$

Conclusión

Queda demostrado y comprobado: las diagonales de un rombo vectorial son perpendiculares.

2.2.7 Vectores ortogonales y ortonormales

Vectores ortogonales

Conjuntos ortonormales

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