2.2.5 Propiedades del modulo de un vector
Axiomas de la norma euclídea
El módulo verifica las tres propiedades que definen una norma en un espacio vectorial:
\(|\vec{u}| \ge 0 \), y \(|\vec{u}| = 0 \) solo si \(\vec{u} = \vec{0} \) (no negatividad)
\(|k\vec{u}| = |k| \cdot |\vec{u}| \) para todo \(k \in \mathbb{R} \) (homogeneidad absoluta)
$$|\vec{u} + \vec{v}| \le |\vec{u}| + |\vec{v}| $$ (desigualdad triangular)
El vector nulo \(\vec{0} = (0, 0, 0) \) es el único con módulo cero: \(|\vec{0}| = 0 \), mientras que para cualquier otro vector el módulo es estrictamente positivo.
Desigualdad triangular inversa
De la desigualdad triangular se deduce también:
La igualdad en la desigualdad triangular se da cuando los vectores son proporcionales y del mismo sentido.
Con \(\vec{u} = (3, 4) \) y \(\vec{v} = (1, 0) \) se verifica la desigualdad triangular inversa: $$\left| |\vec{u}| - |\vec{v}| \right| = |5 - 1| = 4 \le \sqrt{20} = |\vec{u} - \vec{v}| $$
Dado \(\vec{u} = (1, -2, 2) \), calcula \(|-4\vec{u}| \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la propiedad de homogeneidad con letras y calcular el módulo de \(\vec{u} \)
A continuación aplicaremos la propiedad con \(k = -4 \)
Propiedad y módulo del vector.
Aplicación con \(k = -4 \)
El módulo pedido vale \(12 \)
Comprueba la desigualdad triangular para \(\vec{u} = (3, 0, 0) \) y \(\vec{v} = (0, 4, 0) \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular los módulos de ambos vectores.
A continuación calcularemos el módulo de la suma y compararemos.
Módulos de los sumandos.
Módulo de la suma y comparación.
Se cumple la desigualdad con signo estricto, pues los vectores no son proporcionales.
Verifica que para \(\vec{u} = (1, 2, 2) \) y \(\vec{v} = (2, 4, 4) \) se da la igualdad en la desigualdad triangular.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular los módulos de ambos vectores y observar su relación.
A continuación calcularemos el módulo de la suma.
Para terminar compararemos los dos miembros.
Módulos y proporcionalidad.
Observamos que \(\vec{v} = 2\vec{u} \): son proporcionales del mismo sentido.
Módulo de la suma.
Comparación.
Se da la igualdad porque los vectores son proporcionales del mismo sentido.
Comprueba la desigualdad triangular inversa para \(\vec{u} = (3, 0, 0) \) y \(\vec{v} = (0, 4, 0) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la desigualdad triangular inversa con letras.
A continuación calcularemos el vector diferencia y su módulo.
Para terminar compararemos los dos miembros.
Desigualdad con letras.
Con \(|\vec{u}| = 3 \) y \(|\vec{v}| = 4 \), el primer miembro es \(|3 - 4| = 1 \)
Módulo de la diferencia.
Comparación.
Se verifica la desigualdad triangular inversa.
Si \(|\vec{u}| = 5 \) y \(|\vec{v}| = 2 \), acota los posibles valores de \(|\vec{u} + \vec{v}| \) y de \(|\vec{u} - \vec{v}| \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la desigualdad triangular para obtener la cota superior.
A continuación aplicaremos la desigualdad triangular inversa para la cota inferior.
Para terminar repetiremos el razonamiento con la diferencia.
Cota superior de la suma.
Cota inferior de la suma.
Acotación de la diferencia.
El mismo razonamiento con \(\vec{u} - \vec{v} \) da:
Tanto \(|\vec{u} + \vec{v}| \) como \(|\vec{u} - \vec{v}| \) están comprendidos entre \(3 \) y \(7 \)