2.12.1 Haz de planos paralelos a un plano dado
Definición y ecuación del haz de planos paralelos
El haz de planos paralelos a un plano dado \(\pi: Ax + By + Cz + D = 0 \) es el conjunto de todos los planos del espacio que comparten el vector normal \(\vec{n} = (A, B, C) \)
Su ecuación general es:
Al variar el parámetro \(k \) se obtienen planos mutuamente paralelos que barren todo el espacio.
El plano del haz que pasa por un punto \(P(x_0, y_0, z_0) \) se determina sustituyendo sus coordenadas en la ecuación del haz.
El haz de planos paralelos a \(\pi: 2x - y + 3z = 1 \) es $$2x - y + 3z + D = 0 ,\ \text{con}\ D \in \mathbb{R} $$: todos comparten el vector normal \((2, -1, 3) \)
Planos del haz a una distancia dada
La distancia desde un punto \(P(x_0, y_0, z_0) \) a un plano \(Ax + By + Cz + D = 0 \) se calcula con la fórmula general:
Aplicada a los planos del haz \(Ax + By + Cz + k = 0 \), esta fórmula permite hallar los valores de \(k \) para una distancia dada, o la distancia entre dos planos del propio haz.
Los planos del haz \(2x - y + 3z + D = 0 \) que están a distancia \(2 \) del origen verifican \(\frac{|D|}{\sqrt{4 + 1 + 9} }= 2 \), luego \(D = \pm 2\sqrt{14} \)
Halla el plano del haz paralelo a \(\pi: 2x - 3y + z - 7 = 0 \) que pasa por el punto \(P(1, 4, -2) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la ecuación general del haz de planos paralelos a \(\pi \)
A continuación sustituiremos las coordenadas del punto \(P \) para hallar el parámetro \(k \)
Para terminar escribiremos la ecuación del plano buscado.
Ecuación general del haz.
Todo plano paralelo a \(\pi: 2x - 3y + z - 7 = 0 \) comparte su vector normal \(\vec{n} = (2, -3, 1) \), por lo que el haz es:
Determinación del parámetro con el punto.
Imponemos que el plano pase por \(P(1, 4, -2) \):
El plano buscado es \(2x - 3y + z + 12 = 0 \)
Halla los planos del haz \(x + 2y - 2z + k = 0 \) que distan 4 del origen \(O(0, 0, 0) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la fórmula de la distancia punto-plano al origen.
A continuación igualaremos la distancia a 4 y resolveremos la ecuación con valor absoluto.
Para terminar escribiremos los dos planos del haz.
Distancia del origen a un plano del haz.
Igualar la distancia a 4.
Los planos buscados son \(x + 2y - 2z + 12 = 0 \) y \(x + 2y - 2z - 12 = 0 \)
Halla los planos del haz paralelo a \(\pi: x - 2y + 3z + 1 = 0 \) que distan 5 del punto \(P(1, 0, 2) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la ecuación general del haz.
A continuación aplicaremos la fórmula de la distancia punto-plano e igualaremos a 5.
Para terminar resolveremos el valor absoluto y obtendremos los dos planos.
Ecuación del haz y distancia al punto.
El haz es \(x - 2y + 3z + k = 0 \)
La distancia de \(P(1, 0, 2) \) a un plano del haz es:
Igualar a 5 y resolver el valor absoluto.
Ecuaciones de los dos planos.
Sustituyendo cada valor de \(k \) en la ecuación del haz se obtienen los dos planos.
Los planos son \(x - 2y + 3z - 7 + 5\sqrt{14} = 0 \) y \(x - 2y + 3z - 7 - 5\sqrt{14} = 0 \)
Halla el plano del haz paralelo a \(\pi: x + 2y - z - 4 = 0 \) que equidista de los puntos \(A(1, 1, 1) \) y \(B(3, 0, 2) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la ecuación del haz.
A continuación igualaremos las distancias de ambos puntos a un plano genérico del haz.
Para terminar resolveremos la ecuación con valor absoluto y escribiremos el plano.
Ecuación del haz.
El haz es $$x + 2y - z + k = 0 ,\ \text{con}\\\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{6} $$ en el denominador de ambas distancias.
Igualdad de distancias.
Para \(A(1, 1, 1) \): $$d(A, \pi_k) = \frac{|1 + 2(1) - 1 + k|}{\sqrt{6} }= \frac{|2 + k|}{\sqrt{6} } $$
Para \(B(3, 0, 2) \): $$d(B, \pi_k) = \frac{|3 + 2(0) - 2 + k|}{\sqrt{6} }= \frac{|1 + k|}{\sqrt{6} } $$
Igualando: \(|2 + k| = |1 + k| \)
Resolución del valor absoluto.
Si \(2 + k = 1 + k \) se obtiene \(2 = 1 \), imposible.
Con el signo contrario:
El plano buscado es \(x + 2y - z - \frac{3}{2} = 0 \), es decir, \(2x + 4y - 2z - 3 = 0 \)
Calcula la distancia entre los planos \(\pi_1: 2x + y - 2z + 3 = 0 \) y \(\pi_2: 2x + y - 2z - 9 = 0 \), ambos del haz \(2x + y - 2z + k = 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la fórmula de la distancia entre dos planos paralelos.
A continuación identificaremos los términos independientes de cada plano.
Para terminar aplicaremos la fórmula y simplificaremos.
Fórmula de la distancia entre planos paralelos.
Para dos planos paralelos \(Ax + By + Cz + D_1 = 0 \) y \(Ax + By + Cz + D_2 = 0 \), la distancia es:
Identificación de los datos.
En nuestro caso \(A = 2 \), \(B = 1 \), \(C = -2 \), \(D_1 = 3 \) y \(D_2 = -9 \)
Aplicación de la fórmula.
La distancia entre ambos planos del haz es de \(4 \) unidades.