2.11.4 Punto simetrico de un punto respecto de otro

Definición y fórmula

El punto simétrico de un punto $P(x_1, y_1, z_1) $ respecto de un centro de simetría $M(x_0, y_0, z_0) $ es el punto $P'(x', y', z') $ tal que $M $ es el punto medio del segmento $PP' $

De la fórmula del punto medio, $M = \frac{P + P'}{2} $, despejamos el simétrico:

$$P' = 2M - P $$

Por componentes:

$$x' = 2x_0 - x_1, \quad y' = 2y_0 - y_1, \quad z' = 2z_0 - z_1 $$

Ejemplo:

El simétrico de $P(1, 2, 3) $ respecto del origen $M(0, 0, 0) $ es $P' = 2M - P = (-1, -2, -3) $, porque $M $ es el punto medio del segmento $PP' $

Ejemplo 1: Simétrico respecto de un punto dado

Hallar el simétrico del punto $P(3, -2, 5) $ respecto del punto $M(1, 1, 2) $

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la fórmula del simétrico con letras.

A continuación sustituiremos los datos del punto y del centro.

PASO 1

Fórmula general.

Si el centro es $M(x_0, y_0, z_0) $ y el punto es $P(x_1, y_1, z_1) $, el simétrico es:

$$P' = (2x_0 - x_1, 2y_0 - y_1, 2z_0 - z_1) $$

PASO 2

Sustitución de los datos.

Con $P(3, -2, 5) $ y $M(1, 1, 2) $:

$$P' = 2(1, 1, 2) - (3, -2, 5) $$

$$P' = (2, 2, 4) - (3, -2, 5) = (-1, 4, -1) $$

Conclusión

El simétrico es $P'(-1, 4, -1) $

Ejemplo 2: Simétrico y comprobación del punto medio

Hallar el simétrico del punto $P(4, -3, 1) $ respecto del punto $M(2, 0, 5) $ y comprobar que $M $ es el punto medio.

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por aplicar la fórmula del simétrico.

A continuación comprobaremos que el punto medio de P y P' coincide con M.

PASO 1

Cálculo del simétrico.

$$P' = 2M - P = 2(2, 0, 5) - (4, -3, 1) $$

$$P' = (4, 0, 10) - (4, -3, 1) = (0, 3, 9) $$

PASO 2

Comprobación del punto medio.

El punto medio de $P(4, -3, 1) $ y $P'(0, 3, 9) $ es:

$$\left(\frac{4+0}{2}, \frac{-3+3}{2}, \frac{1+9}{2}\right) = (2, 0, 5) = M $$

Conclusión

El simétrico es $P'(0, 3, 9) $

Ejemplo 3: Hallar el punto original conocido su simétrico

Hallar el punto $P $ sabiendo que su simétrico respecto del punto $M(1, -2, 4) $ es $P'(3, 0, 1) $

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por despejar el punto P de la fórmula del simétrico.

A continuación sustituiremos los datos conocidos.

PASO 1

Despeje de la fórmula.

De $P' = 2M - P $ despejamos:

$$P = 2M - P' $$

PASO 2

Sustitución.

Con $M(1, -2, 4) $ y $P'(3, 0, 1) $:

$$P = 2(1, -2, 4) - (3, 0, 1) = (2, -4, 8) - (3, 0, 1) = (-1, -4, 7) $$

Conclusión

El punto original es $P(-1, -4, 7) $

Ejemplo 4: Hallar el centro de simetría

Determinar el centro de simetría $M $ sabiendo que los puntos $P(1, 2, 3) $ y $P'(5, -2, 1) $ son simétricos entre sí.

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por recordar que el centro es el punto medio del segmento que une ambos puntos.

A continuación aplicaremos la fórmula del punto medio.

PASO 1

Fórmula del punto medio.

$$M = \frac{P + P'}{2} $$

PASO 2

Sustitución.

$$M = \left(\frac{1+5}{2}, \frac{2-2}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (3, 0, 2) $$

Conclusión

El centro de simetría es $M(3, 0, 2) $

Ejemplo 5: Simétrico de un punto respecto al punto medio de un segmento

Dados los puntos $A(2, -1, 4) $ y $B(4, 3, 0) $, calcula las coordenadas del punto medio $M $ del segmento $AB $ y halla las coordenadas del punto simétrico de $P(1, -2, 5) $ respecto de dicho punto medio $M $

Explicación

Para resolver este ejercicio calcularemos en primer lugar las coordenadas del punto medio como la semisuma de las coordenadas de los extremos dados.

A continuación aplicaremos la condición de simetría central respecto a un punto, donde el centro de simetría actúa como punto medio entre el punto original y su simétrico.

Despejaremos analíticamente las coordenadas del punto simétrico.

PASO 1

Coordenadas del punto medio M.

El punto medio $M $ del segmento $AB $ es:

$$M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right) = \left(\frac{2 + 4}{2}, \frac{-1 + 3}{2}, \frac{4 + 0}{2}\right) = (3, 1, 2) $$

PASO 2

Relación vectorial de simetría central.

El punto $P'(x', y', z') $ es simétrico de $P(x, y, z) $ respecto de $M $ si y solo si $M $ es el punto medio del segmento $PP' $:

$$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P $$

PASO 3

Cálculo de las componentes del punto simétrico.

$$x' = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5 $$

$$y' = 2(1) - (-2) = 2 + 2 = 4 $$

$$z' = 2(2) - 5 = 4 - 5 = -1 $$

El punto simétrico es $P'(5, 4, -1) $

PASO 4

Comprobación.

Verificamos que el punto medio de $P(1, -2, 5) $ y $P'(5, 4, -1) $ es efectivamente $M(3, 1, 2) $:

$$\left(\frac{1 + 5}{2}, \frac{-2 + 4}{2}, \frac{5 - 1}{2}\right) = (3, 1, 2) = M $$

Conclusión

El punto medio del segmento AB es $M(3, 1, 2) $ y el punto simétrico de P respecto de M es $P'(5, 4, -1) $