2.10.4 Distancia entre un plano y una recta paralela a dicho plano

Reducción a distancia punto-plano

Si una recta $r $ es paralela a un plano $\pi $, es decir, $\vec{v}_r\cdot\vec{n}_{\pi} = 0 $, todos los puntos de la recta están a la misma distancia del plano.

Por tanto:

$$d(r,\pi) = d(A,\pi) \quad \text{con } A \in r \text{ cualquiera} $$

Si la recta corta al plano ($\vec{v}_r\cdot\vec{n}_{\pi} \ne 0$) la distancia es $0$, y si está contenida en él también es $0$

📝 Ejemplo:

La recta $r: (0, 0, 5) + \lambda(1, 0, 0) $ es paralela al plano $\pi: z = 0 $, porque $(1, 0, 0) \cdot (0, 0, 1) = 0 $; tomando $A(0, 0, 5) \in r $, $d(r, \pi) = d(A, \pi) = 5 $

📝 Ejemplo 1: Recta paralela a un plano

Comprueba que la recta $ r: (x,y,z) = (0,1,-1)+\lambda(4,1,3)$ es paralela al plano $\pi: 3x-4z+1 = 0$ y calcula $ d(r,\pi)$

💡 Explicación

Primero verificamos el paralelismo con el producto escalar del vector director y el normal; después tomamos un punto cualquiera de la recta y aplicamos la fórmula punto-plano.

👉 PASO 1

Verificación del paralelismo

$\vec{v} = (4,1,3)$, $\vec{n} = (3,0,-4)$

$$\vec{v}\cdot\vec{n} = 4\cdot 3+1\cdot 0+3\cdot(-4) = 12-12 = 0 $$

luego $ r \parallel \pi$

👉 PASO 2

Distancia punto-plano

Tomamos $ A(0,1,-1) \in r$:

$$d(r,\pi) = d(A,\pi) = \frac{|3(0)-4(-1)+1|}{\sqrt{3^2+0^2+(-4)^2} }= \frac{|5|}{\sqrt{25} }= \frac{5}{5} = 1 $$

✅ Conclusión

La recta es paralela al plano y la distancia es $1$ unidad.

📝 Ejemplo 2: Verificación y cálculo con paramétricas

Halla $ d(r,\pi)$ siendo $ r: (x,y,z) = (1,0,1)+\lambda(2,1,0)$ y $\pi: x-2y+3z-10 = 0$

💡 Explicación

Comprobamos que $\vec{v}\cdot\vec{n} = 0$ para asegurar el paralelismo y después aplicamos la distancia del punto $ A(1,0,1)$ al plano.

👉 PASO 1

Paralelismo

$$\vec{v}\cdot\vec{n} = 2(1)+1(-2)+0(3) = 2-2 = 0 $$

La recta es paralela al plano.

👉 PASO 2

Distancia

$$d(r,\pi) = \frac{|1(1)-2(0)+3(1)-10|}{\sqrt{1+4+9} }= \frac{|-6|}{\sqrt{14} }= \frac{6}{\sqrt{14} }= \frac{3\sqrt{14}}{7} $$

✅ Conclusión

La distancia es $\frac{3\sqrt{14}}{7}$ unidades (aproximadamente $1,603$).

📝 Ejemplo 3: Parámetro para el paralelismo

Halla el valor de $ k$ para que la recta $ r: x-1 = \frac{y+2}{k} = \frac{z}{2}$ sea paralela al plano $\pi: x+y+z-5 = 0$ y calcula la distancia entre ambos.

💡 Explicación

Imponemos $\vec{v}\cdot\vec{n} = 0$ para hallar $ k$; con la recta ya paralela, tomamos su punto base y aplicamos la fórmula punto-plano.

👉 PASO 1

Valor de k

$\vec{v} = (1,k,2)$, $\vec{n} = (1,1,1)$

$$\vec{v}\cdot\vec{n} = 1+k+2 = 0 \;\Rightarrow\; k = -3 $$

👉 PASO 2

Distancia

$ A(1,-2,0) \in r$:

$$d(r,\pi) = \frac{|1+(-2)+0-5|}{\sqrt{3} }= \frac{|-6|}{\sqrt{3} }= \frac{6}{\sqrt{3} }= 2\sqrt{3} $$

✅ Conclusión

Con $ k = -3$ la recta es paralela y la distancia es $2\sqrt{3}$ unidades.

📝 Ejemplo 4: Planos paralelos a distancia dada de una recta

La recta $$ r: \frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z}{1}$$ es paralela al plano $\pi: x-y-3z+D = 0$

Halla $ D$ sabiendo que $ d(r,\pi) = \sqrt{6}$

💡 Explicación

Verificamos primero el paralelismo; después expresamos la distancia en función de $ D$ con un punto de la recta e imponemos que valga $\sqrt{6}$, lo que da una ecuación con valor absoluto.

👉 PASO 1

Paralelismo

$\vec{v} = (2,-1,1)$, $\vec{n} = (1,-1,-3)$

$$\vec{v}\cdot\vec{n} = 2+1-3 = 0 $$

luego $ r \parallel \pi$ para todo $ D$

👉 PASO 2

Determinación de D

$ A(-1,3,0) \in r$:

$$d(r,\pi) = \frac{|(-1)-3-0+D|}{\sqrt{1+1+9} }= \frac{|D-4|}{\sqrt{11} }= \sqrt{6} $$

$$|D-4| = \sqrt{66} \;\Rightarrow\; D = 4+\sqrt{66} \ \text{ o } \ D = 4-\sqrt{66} $$

✅ Conclusión

Hay dos planos: $\pi_1: x-y-3z+4+\sqrt{66} = 0$ y $\pi_2: x-y-3z+4-\sqrt{66} = 0$

📝 Ejemplo 5: Planos paralelos a un plano dado que distan una cantidad fija de una recta

Dada la recta $$r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{1} $$ paralela al plano $\pi: x + y - z + 4 = 0 $, halla la distancia entre $r $ y $\pi $, y obtén las ecuaciones de los dos planos paralelos a $\pi $ que distan $3\sqrt{3} $ unidades de la recta $r $

💡 Explicación

Para resolver este problema comprobaremos primero el paralelismo entre la recta y el plano calculando el producto escalar del vector director y el vector normal.

A continuación hallaremos la distancia tomando un punto cualquiera de la recta.

Finalmente escribiremos la familia de planos paralelos y determinaremos el término independiente imponiendo la distancia exigida.

👉 PASO 1

Comprobación del paralelismo.

El vector director de la recta es $\vec{v} = (2, -1, 1) $

El vector normal al plano es $\vec{n} = (1, 1, -1) $

Calculamos el producto escalar:

$$\vec{v} \cdot \vec{n} = 2(1) + (-1)(1) + 1(-1) = 2 - 1 - 1 = 0 $$

Como el producto escalar es nulo y el punto $P(1, -2, 0) \in r $ no pertenece al plano ($1 + (-2) - 0 + 4 = 3 \ne 0 $), la recta es estrictamente paralela al plano.

👉 PASO 2

Distancia de la recta al plano.

Tomamos el punto $P(1, -2, 0) $ de la recta:

$$d(r, \pi) = d(P, \pi) = \frac{|1 + (-2) - 0 + 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|3|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} $$

👉 PASO 3

Familia de planos paralelos.

Todo plano paralelo a $\pi $ tiene la forma:

$$\pi_k: x + y - z + k = 0 $$

👉 PASO 4

Imposición de la distancia a la recta.

La distancia de la recta al plano debe ser $3\sqrt{3} $:

$$d(r, \pi_k) = d(P, \pi_k) = \frac{|1 + (-2) - 0 + k|}{\sqrt{3}} = \frac{|k - 1|}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} $$

Multiplicamos ambos miembros por $\sqrt{3} $:

$$|k - 1| = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9 $$

Esto genera dos soluciones:

$$k - 1 = 9 \implies k_1 = 10 $$

$$k - 1 = -9 \implies k_2 = -8 $$

✅ Conclusión

La distancia entre la recta y el plano original es $\sqrt{3} $ unidades, y los dos planos paralelos que distan $3\sqrt{3} $ unidades de la recta son $\pi_1: x + y - z + 10 = 0 $ y $\pi_2: x + y - z - 8 = 0 $